피보나치와 황금비

이야기

1200년 무렵, 이탈리아 피사의 한 청년이 북아프리카 항구에서 아버지의 일을 돕고 있었습니다. 아버지는 그곳 세관에서 일하는 피사 상인이었습니다. 청년은 시장에서 아랍 상인들이 셈하는 모습을 보고 놀랍니다. 그들은 기호 열 개로 무엇이든 적고 있었습니다.

그때 유럽은 로마 숫자를 썼습니다. 1998을 적으려면 MCMXCVIII 이라고 써야 했고, 그것으로 곱셈을 하려면 주판이 있어야 했습니다. 아랍 상인들은 종이 위에서 그냥 했습니다. 비결은 자리마다 값이 달라지는 방식과, 아무것도 없음을 적는 기호 0 이었습니다.

청년은 이집트·시리아·그리스를 돌며 그 셈법을 배웠고, 1202년 『산반서(Liber Abaci)』라는 두꺼운 책을 냅니다. 유럽 사람들에게 0부터 9까지 열 개의 숫자를 가르치는 책이었습니다. 우리가 지금 쓰는 숫자가 유럽에 자리 잡은 것은 이 책 덕이 큽니다.

그 두꺼운 책 한 귀퉁이에 연습문제 하나가 있었습니다. “토끼 한 쌍이 있다. 두 달이 되면 매달 한 쌍씩 새끼를 낳고 아무도 죽지 않는다. 한 해 뒤 토끼는 몇 쌍인가?”

달마다 세어 보면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… 입니다. 앞의 두 수를 더하면 다음 수가 됩니다. 토끼는 사실 이렇게 늘지 않습니다. 죽지도 않고 꼬박꼬박 낳는 토끼는 없으니까요.

여기가 이 이야기에서 가장 이상한 대목입니다. 그가 평생을 걸어 유럽에 남긴 것은 숫자였는데, 세상은 그가 곁가지로 낸 토끼 문제 하나로 그를 기억합니다. 게다가 「피보나치」라는 이름조차 그가 쓴 적이 없습니다. 그는 스스로를 피사의 레오나르도라 적었고, 「보나치의 아들」이라는 뜻의 이 별명은 후대에 붙은 것입니다. 수열에 그의 이름이 붙은 것도 그가 죽고 육백 년쯤 지나서였습니다.

그마저 처음이 아니었습니다. 그보다 훨씬 앞서 인도에서 시의 운율을 세던 학자들이 같은 수를 얻었다고 전합니다. 긴 음절과 짧은 음절을 늘어놓는 방법이 몇 가지인지 세다 보면, 토끼를 세지 않아도 똑같은 수가 나옵니다.

이제 이웃한 두 수의 비를 재 보세요. 1÷1=1, 2÷1=2, 3÷2=1.5, 5÷3=1.666…, 8÷5=1.6, 13÷8=1.625, 21÷13=1.615… 위아래로 흔들리면서 점점 한 값으로 좁혀집니다. 그 값이 1.618…, 이른바 황금비입니다.

식물이 왜 이 수를 따를까요? 줄기가 잎을 하나 낼 때마다 한 바퀴를 황금비로 나눈 각, 약 137.5도씩 돌려서 냅니다. 이 각도로 돌리면 몇 장을 내도 위아래 잎이 겹치지 않습니다. 만약 한 바퀴의 1/2씩 돌리면 두 장마다, 1/3씩 돌리면 세 장마다 정확히 포개져 아래 잎이 그늘에 듭니다. 분수로 딱 떨어지지 않는 각도라야 겹치지 않는데, 황금비가 바로 분수로 가장 잘 안 떨어지는 수입니다.

그래서 솔방울 비늘도, 해바라기 씨앗도 그 각도로 돌아가며 앉고, 그 소용돌이를 세면 8과 13, 34와 55 같은 이웃한 두 수가 나옵니다. 토끼는 이렇게 늘지 않지만, 햇빛을 나누어 갖는 식물은 이렇게 자랍니다.

🚩 그런데 「피보나치」는 그가 살아서 들어 본 적 없는 이름입니다. 19세기에 붙은 별명이고, 그는 「피사의 레오나르도」였습니다. 게다가 그가 평생 자랑스러워한 일은 토끼 문제가 아니라 아라비아 숫자를 유럽에 들여온 것이었습니다. 정작 세상은 그 큰 일을 잊고, 책 한구석의 연습문제 하나로 그를 기억합니다.