아폴로니오스의 원
거리의 비가 그리는 둥근 비밀
종이 위에 두 점 A와 B를 6cm 간격으로 찍으세요. 이제 컴퍼스와 자를 써서 점 A까지의 거리와 점 B까지의 거리가 언제나 2대 1이 되는 점들을 수없이 찍어 보세요.
선분 AB 위뿐만 아니라 평면 전체에 점을 촘촘하게 찍다 보면 신기한 윤곽이 드러납니다. 곧은 비례 관계를 따라 점을 찍었는데 왜 반듯한 직선이 아니라 완벽한 원이 그려질까요?
이야기
Giovanni Battista Memo
Public domain · 위키미디어 공용
기원전 3세기 페르가의 아폴로니오스는 여덟 권짜리 『원뿔곡선론』을 썼습니다. 타원·포물선·쌍곡선이라는 이름을 지은 사람이 그입니다. 천팔백 년 뒤 케플러가 행성의 길을 타원이라 말할 때 쓴 말이 바로 이것입니다.
그런데 이 원에는 딱 한 번 예외가 있습니다. 거리의 비가 1대 1일 때입니다. 그때는 원이 아니라 직선이 나옵니다. 두 점의 수직이등분선입니다. 비가 1에 가까워질수록 원이 점점 커지다가, 1이 되는 순간 무한히 커져 곧게 펴진 것입니다.
왜 원이 될까요. 두 점을 좌표에 놓고 「A까지 거리 = k × B까지 거리」를 식으로 적어 보십시오. 양쪽을 제곱하면 x²과 y²이 같은 계수로 나타납니다.
x²과 y²의 계수가 같고 xy 항이 없는 식은 원의 방정식뿐이기 때문에, 답은 원일 수밖에 없습니다. 그리고 k가 1이면 제곱항이 통째로 지워져서 일차식, 곧 직선이 남습니다.
「신호 세기의 비」로 자리를 찾는 기술입니다. 두 기지국에서 오는 세기의 비를 알면 자기가 어느 원 위에 있는지 압니다.
실내 측위, 음향 위치 추적, 옛 선박이 등대 소리로 자리를 잡던 방법이 같은 원리입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
2대 1 되는 자리를 찍어 잇는다
두 지점 A와 B에서 2대 1 거리에 있는 보물 위치를 찾습니다. 두 점 사이를 2대 1로 나누는 안쪽 지점을 먼저 하나 찾습니다.
바깥쪽으로 연장한 선 위에서도 2대 1이 되는 지점을 하나 더 찾습니다. 그리고 평면의 위아래로 같은 비율의 점들을 계속 찾아 이어 보면 예쁜 원이 만들어집니다.
거리의 비가 같은 점들
이것이 아폴로니오스의 원입니다.
자취를 점으로 찍어 본다
삼각형의 내각의 이등분선과 외각의 이등분선 성질을 떠올려 보세요. 점 P에서 선분 AB에 대해 AP 대 BP가 2대 1이면, 각 APB의 내각 이등분선과 외각 이등분선은 서로 수직(90도)을 이룹니다.
내각 이등분선이 AB와 만나는 내분점과 외각 이등분선이 만나는 외분점을 지름의 양 끝으로 삼으면, 점 P는 항상 90도를 바라보는 원주 위의 점이 됩니다. 그래서 자취가 원이 됩니다.
비가 1 에 가까우면
1 이 되는 순간 반지름이 무한대 — 원이 직선이 됩니다.
좌표로 원의 방정식 끌어내기
좌표평면에서 두 점을 이라 두고 () 비율을 만족하는 점 의 자취를 대수적으로 유도합니다.
비례식 을 전개하여 정리하면 이 되어 전형적인 원의 방정식이 나타납니다. 내분점과 외분점이 정확히 지름의 양 끝점이 됩니다.
세 원에 접하는 원
안쪽·바깥쪽을 고르는 방법이 2³ = 8 가지이기 때문입니다.
반전기하
아폴로니오스의 원은 반전기하학(Inversive Geometry)과 복소해석학의 뫼비우스 변환에서 원과 직선이 동일한 일반화된 원족(Coaxial circles)을 이룸을 보여 주는 근본 예시입니다.
평면 위 두 점에 대한 아폴로니오스 원족은 두 점을 지나는 직교 원족과 모든 점에서 수직으로 만납니다. 이는 전자기학의 2차원 등전위선과 전기력선 해석, 유체역학의 복소포텐셜 유동 해석에 핵심 골격으로 쓰입니다.
데카르트의 원 정리
데카르트가 1643년에 편지로 적었습니다 — 아폴로니오스 개스킷의 씨앗입니다.
풀어 보기
아폴로니오스의 원. 수직선 위의 두 점 에 대하여 을 만족하는 점 가 있다.
(1) 선분 AB를 2 : 1 로 내분하는 점과 외분점의 좌표를 각각 구하시오.
(2) 점 가 그리는 아폴로니오스의 원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하시오.
(3) 삼각형 PAB의 넓이의 최댓값을 구하시오.
(1) 내분점 4, 외분점 12입니다. (2) 중심 (8, 0), 반지름 4입니다. (3) 밑변 AB=6이고 높이 최댓값이 반지름 4이므로 넓이 최댓값은 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 내분점 4 · 외분점 12 입니다.
· 내분 :
· 외분 :
확인 : · — 둘 다 조건을 만족합니다.
(2) 중심 · 반지름 4 입니다.
⭐ 내분점과 외분점이 지름의 양 끝이 됩니다.
중심 · 반지름
식으로 확인해도 같습니다 — 라 하면 에서
.
(3) 12 입니다.
밑변 은 고정이고, 높이는 가 원 위를 돌 때 가장 클 때가 반지름 4(원의 맨 위/맨 아래)입니다.
두 점에서의 거리의 비가 일정한 점을 모으면 — 놀랍게도 원이 됩니다.
비가 일 때만 수직이등분선(직선)이 되고, 그 밖에는 모두 원입니다.
기원전 200 년 아폴로니오스가 찾았습니다. 지금은 휴대전화 기지국 세 곳의 신호 세기로 위치를 찾는 데 이 원이 쓰입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「거리의 비가 일정한 점들」은 여러 곳에 나타납니다.
- 반전 기하 — 원을 원으로 옮기는 변환에서 핵심 도구입니다
- 위치 찾기 — 신호 세기의 비로 자리를 재는 기술이 있습니다
- 직접 확인 — 모눈종이에 점을 여러 개 찍어 보세요. 정말 원이 됩니다
이어지는 장
두 점까지 거리의 비가 1이면 직선이 되고, 1이 아니면 원으로 굽어집니다 — 제29장 의 좌표평면에 식을 세우면 이차항의 계수가 같아 원의 방정식이 되는 까닭이 선명해집니다.
영감을 받은 곳
고대 그리스의 수학자 페르게의 아폴로니오스가 기원전 200년경 저술한 『평면 궤적』(Plane Loci)에 실려 있었으며, 파포스의 수학 집성을 통해 오늘날까지 전해졌습니다.