시에르핀스키 삼각형
가운데를 파내도 남는 것
정삼각형을 하나 그리고, 세 변의 가운데 점을 이어 가운데에 생기는 거꾸로 선 작은 삼각형을 까맣게 칠해 파내 보세요.
남은 세 개의 작은 삼각형에서도 똑같이 가운데를 파냅니다. 이 과정을 무한히 되풀이하면 종이의 넓이는 0이 될까요? 그렇다면 남아 있는 삼각형의 둘레 길이는 어떻게 될까요?
이야기
unknown-anonymous
Public domain · 위키미디어 공용
1915년 바츠와프 시에르핀스키가 이 무늬를 글로 적었습니다. 그는 그해 제1차 세계대전으로 러시아에 억류되어 있었고, 모스크바의 수학자들과 함께 무한을 다루는 새 수학을 세우던 참이었습니다.
그런데 이 무늬는 그보다 칠백 년 앞서 이미 바닥에 깔려 있었습니다. 13세기 로마의 성당 바닥을 장식한 코스마티 모자이크에 똑같은 무늬가 돌로 박혀 있습니다. 장인들은 그것을 수학이라 부르지 않고 무늬라고 불렀을 뿐입니다.
넓이가 0이 되는 까닭은 셈이 단순합니다. 한 번 팔 때마다 4분의 3만 남습니다. 그것을 n번 되풀이하면 남는 넓이는 4분의 3을 n번 곱한 값입니다.
1보다 작은 수를 끝없이 곱하면 0으로 다가가기 때문에 넓이는 사라집니다. 그런데 선은 남습니다. 판 것은 안쪽이지 테두리가 아니기 때문입니다. 넓이는 없고 길이는 무한한 도형이 되는 것입니다.
휴대전화 안테나에 실제로 쓰입니다. 프랙탈 모양이라 여러 주파수를 한 안테나로 받습니다.
지금 손에 든 기기 안에 시에르핀스키 모양의 안테나가 들어 있을 수 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
삼각형 가운데를 계속 파낸다
색종이로 정삼각형을 접어 가운데를 가위로 오려내 보세요. 한 번 오려내면 삼각형이 3개 남고, 두 번 오려내면 9개, 세 번 오려내면 27개가 남습니다.
삼각형의 개수는 3배씩 계속 늘어나지만, 남아 있는 종이의 총 넓이는 4분의 3씩 줄어듭니다. 손으로 직접 파내며 구멍 뚫린 그물 모양을 관찰해 보세요.
가운데를 파내 보세요
20 번만 파내도 넓이가 원래의 0.3% 밖에 안 됩니다.
남는 넓이를 셈하기
처음 삼각형 넓이를 1이라 하면, 1단계 후 남은 넓이는 , 2단계 후는 , 단계 후는 이 됩니다.
이 한없이 커지면 남은 넓이는 0에 수렴합니다. 반면 둘레의 길이는 매 단계마다 배씩 늘어나 무한대로 발산합니다. 넓이는 0인데 둘레는 무한한 신비로운 도형입니다.
파스칼 삼각형과 같습니다
홀수의 개수는 2^(2진수의 1 개수) — 쿠머의 정리입니다.
파스칼 삼각형과의 연결
시에르핀스키 삼각형은 자기 자신 속에 크기가 로 축소된 똑같은 모양 3개를 품고 있는 자기닮음(Self-similarity) 도형입니다.
축소율 과 조각 수 으로부터 하우스도르프 차원을 구하면 차원이 됩니다. 1차원 선보다는 두껍고 2차원 면보다는 얇은 프랙탈 차원입니다.
차원을 재 보세요
넓이는 0 이고 길이는 무한 — 그 사이 어딘가에 있습니다.
자기닮음과 차원
파스칼의 삼각형에서 홀수를 1(검정), 짝수를 0(흰색)으로 두고 색칠하면 놀랍게도 시에르핀스키 삼각형이 그대로 나타납니다.
이는 이항계수의 뤼카 정리(Lucas' theorem)와 카오스 이론의 카오스 게임(반복 함수계, IFS)을 통해서도 생성됩니다. 위상수학적으로는 평면 상의 1차원 연속체 곡선으로서 국소적으로 연결된 페아노 곡선 구조를 연구하는 핵심 모델입니다.
카오스 게임
처음 자리의 영향이 2⁻ⁿ 으로 사라지기 때문입니다 — 우연이 질서를 그립니다.
풀어 보기
시에르핀스키 삼각형의 넓이와 둘레. 한 변의 길이가 1이고 넓이가 , 둘레가 인 정삼각형에서 시작한다.
(1) 1단계 시행 후 남아 있는 3개 정삼각형의 넓이의 합 과 둘레의 합 을 구하시오.
(2) 단계 시행 후 남아 있는 도형의 총 넓이 과 총 둘레 을 에 관한 식으로 나타내시오.
(3) 일 때 과 의 극한값을 각각 구하시오.
(2) 에서 각 단계마다 넓이는 배, 둘레는 배가 됨을 적용하세요.
답과 풀이 보기
(1) · 입니다.
· 넓이 — 작은 정삼각형은 한 변이 이라 넓이가 배이고, 그것이 세 개이므로
· 둘레 — 작은 삼각형 하나의 둘레는 이고 세 개이므로 — 배로 늘었습니다.
(2) · 입니다.
단계마다 넓이는 배(줄고), 둘레는 배(늘기) 때문입니다.
(3) · 입니다.
이므로 넓이는 0 으로 가라앉고, 이므로 둘레는 끝없이 자랍니다.
넓이가 0 인데 둘레가 무한합니다. 종이 위에 분명히 보이는데 넓이는 없습니다.
이런 도형의 차원은 1 도 2 도 아닌 입니다 — 선과 면 사이에 있습니다. 그래서 프랙탈이라 부릅니다.
더 멀리
우연에서 질서가 나오는 것이 프랙탈의 매력입니다.
- 안테나 — 프랙탈 모양으로 만들면 여러 주파수를 한꺼번에 받습니다
- 컴퓨터 그래픽 — 산과 나무를 프랙탈로 만듭니다
- 직접 해 보기 — 종이와 주사위로 카오스 게임을 백 번만 해도 무늬가 보이기 시작합니다
이어지는 장
단순한 덧셈으로 쌓아 올린 수의 삼각형에서 홀수 칸만 칠하면 이 프랙탈 도형이 그대로 피어납니다 — 제44장 의 규칙이 기하학의 무한 분할로 바뀌는 순간을 만나 보세요.
영감을 받은 곳
바츠와프 시에르핀스키(Wacław Sierpiński)가 1915년 학술지 『Prace Matematyczno-Fizyczne』에 발표한 논문 「Sur une courbe dont tout point est un point de ramification」에서 처음 정의되었습니다.