완전수
자기 자신을 빼고 더하면 자신이 됩니다
숫자 6의 약수를 모두 찾아보세요. 1, 2, 3, 6입니다. 여기서 자기 자신인 6을 뺀 나머지 1, 2, 3을 더하면 으로 다시 자신이 됩니다.
28도 그렇습니다. 약수 1, 2, 4, 7, 14를 더하면 정확히 28이 됩니다. 자기 몸의 조각들을 모아 완벽하게 스스로를 채우는 이 신비로운 수의 비밀은 어디까지 밝혀졌을까요?
이야기
Justus van Gent
Public domain · 위키미디어 공용
『원론』 아홉째 권 마지막 명제에서 에우클레이데스가 규칙을 하나 남겼습니다. 「2ⁿ−1이 소수이면, 거기에 2ⁿ⁻¹을 곱한 수는 완전수다.」 6도 28도 496도 8128도 이 규칙에서 나옵니다.
이천 년이 지나 오일러가 그 뒤를 잇습니다. 짝수 완전수는 그 꼴밖에 없다는 것을 증명한 것입니다. 그 글은 그가 죽고 예순여섯 해 뒤인 1849년에야 인쇄되었습니다.
그런데 「짝수」라는 말이 걸립니다. 홀수 완전수가 하나라도 있는지는 이천삼백 년 동안 아무도 모릅니다. 컴퓨터로 어마어마한 자리까지 뒤졌지만 하나도 못 찾았고, 없다는 증명도 못 했습니다. 수학에서 가장 오래 풀리지 않은 물음 가운데 하나입니다.
규칙이 통하는 까닭은 셈해 보면 보입니다. 2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1)에서 2ⁿ−1이 소수라면, 약수는 1, 2, 4, … 2ⁿ⁻¹과 여기에 그 소수를 곱한 것들뿐입니다.
자기 자신을 뺀 약수를 다 더하면 정확히 자기 자신이 되는데, 2의 거듭제곱을 처음부터 다 더하면 늘 다음 것보다 하나 작기 때문입니다.
바로 쓰이는 곳은 없습니다. 이천 년 넘게 순수한 호기심의 대상이었습니다.
다만 완전수를 찾는 일이 메르센 소수 찾기와 같은 일이고, 그 과정에서 만들어진 빠른 곱셈·소수 판정 방법이 지금 암호에 쓰입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
약수를 찾아 더해 본다
1부터 30까지의 수 중에서 진약수(자신을 뺀 약수)를 찾아 더해 봅니다. 대부분은 합이 작거나(부족수) 크지만(과잉수), 6과 28은 완벽하게 맞아떨어집니다.
, 처럼 약수들이 꼭 들어맞아 스스로를 완성하는 숫자의 조화를 손으로 셈하며 찾아보세요.
약수를 다 더해 보세요
6·28·496·8128 — 그리고 그 다음은 33,550,336 입니다.
28·496 찾기·규칙
세 번째 완전수는 496, 네 번째 완전수는 8128입니다. 이 수들은 모두 연속된 자연수의 합으로 표현됩니다 (, ).
2300년 전 유클리드는 이 소수이면 이 항상 짝수 완전수가 된다는 기막힌 규칙을 발견했습니다. 이면 , 이면 입니다.
메르센 소수로 만들어 보세요
p = 11 을 넣어 보세요 — 2047 = 23×89 라 완전수가 아닙니다.
메르센 소수와의 짝
오일러는 유클리드의 정리를 완성하여 모든 짝수 완전수는 반드시 형태(단, 은 메르센 소수)임을 역으로 증명했습니다 (유클리드-오일러 정리).
약수 함수 의 곱셈적 성질을 이용해 짝수 완전수와 메르센 소수가 일대일 대응됨을 엄밀히 보였습니다. 따라서 새로운 짝수 완전수를 찾는 일은 거대한 메르센 소수를 탐색하는 일과 정확히 같습니다.
모두 짝수입니다
그러나 홀수 완전수가 있는지는 2000 년째 모릅니다.
홀수 완전수 미해결
완전수는 고대 그리스부터 2천 년 넘게 이어져 온 수론 최고의 미해결 난제들을 품고 있습니다.
"홀수 완전수가 존재하는가?"와 "완전수의 개수는 무한한가?"는 아직 그 누구도 풀지 못했습니다. 현대 슈퍼컴퓨터와 GIMPS 프로젝트는 분산 컴퓨팅을 총동원해 수천만 자리의 메르센 소수와 완전수를 지금 이 순간에도 사냥하고 있습니다.
아직 마흔 몇 개뿐입니다
가장 큰 것은 4 천만 자리가 넘습니다 — 그것이 무한히 많은지도 모릅니다.
풀어 보기
완전수와 메르센 소수. 자연수 의 모든 양의 약수의 합을 이라 할 때, 완전수는 을 만족한다.
(1) 28의 모든 약수를 나열하고, 이들의 역수의 합 의 값을 구하시오.
(2) 일 때 메르센 수 이 소수인지 판정하고, 이에 대응하는 완전수를 구하시오.
(3) 모든 짝수 완전수의 일의 자리 숫자로 가능한 숫자 두 개를 쓰시오.
(1) 역수의 합은 항상 2입니다. (2) 이므로 입니다. (3) 6 또는 8입니다.
답과 풀이 보기
(1) 약수는 이고 합은 56 입니다.
역수의 합은
⭐ 약수의 역수를 모두 더하면 이 되므로, 완전수라면 언제나 정확히 2 입니다.
(2) 은 소수입니다 ( 이므로 2, 3, 5 로만 나눠 보면 됩니다).
유클리드의 공식 에 넣으면
입니다.
확인 : .
(3) 6 또는 8 입니다.
실제로 — 끝자리가 6, 8, 6, 8, 6, 6, 8 로 오직 둘뿐입니다.
2,300 년 전 유클리드가 짝수 완전수의 공식을 알아냈고, 2,000 년 뒤 오일러가 그 꼴뿐임을 증명했습니다.
그런데 홀수 완전수가 있는지는 지금도 아무도 모릅니다. 2,300 년을 찾았는데 하나도 못 찾았고, 없다는 증명도 못 했습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
완전수는 가장 오래된 미해결 문제를 품고 있습니다.
- 홀수 완전수 — 있다면 자릿수가 1500이 넘어야 한다는 것까지 밝혀졌지만, 있는지 없는지는 모릅니다
- 메르센 소수와 짝을 이룹니다. 새 메르센 소수가 발견되면 완전수도 하나 늘어납니다
- 직접 찾기 — 1000까지 약수를 더해 보면 6·28·496만 나옵니다
이어지는 장
자신을 제외한 모든 약수를 더했을 때 자기 자신이 되는 완전수의 비밀은 메르센 소수 와 한 몸처럼 맞물려 있습니다 — 전 세계 컴퓨터들이 지금도 가장 거대한 소수를 찾아 밤낮없이 달리는 제40장 과 함께 그 신비로운 짝을 만나보세요.
영감을 받은 곳
기원전 300년경 유클리드의 『원론』(Elements) 제9권 명제 36에서 짝수 완전수의 공식을 제시했고, 18세기 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 모든 짝수 완전수가 유클리드 공식 꼴임을 완벽하게 증명했습니다.