삼각수와 사각수
동그라미를 삼각형으로 쌓습니다
바둑돌을 1개, 그 아래 2개, 그 아래 3개, 그 아래 4개 늘어놓아 삼각형을 만들어 보세요. 바둑돌은 1, 3, 6, 10개가 됩니다.
같은 삼각형 두 개를 돌려 맞붙여 보세요. 어떤 모양의 사각형이 만들어질까요? 바둑돌 개수를 한 번에 셈하는 공식이 보이나요?
이야기
기원전 6세기 남이탈리아 크로톤. 피타고라스 학파 사람들은 수를 조약돌로 늘어놓아 생각했습니다. 셈을 뜻하는 서양 말 「calculus」가 라틴어로 작은 조약돌이라는 데서 온 것이 그래서입니다.
그들에게 가장 귀한 수는 10이었습니다. 1+2+3+4로 만들어지는 이 삼각형을 테트락티스라 부르며 신성하게 여겼고, 맹세를 할 때 이것을 걸었다고 전해집니다.
그런데 이 조약돌 놀이가 뜻밖의 것을 내놓습니다. 이웃한 삼각수 둘을 더해 보십시오. 1+3 = 4, 3+6 = 9, 6+10 = 16, 10+15 = 25 — 전부 제곱수입니다. 삼각형 둘을 더했는데 정사각형이 나오는 것입니다.
까닭은 돌을 놓아 보면 눈에 보입니다. 삼각형 하나는 그대로 두고 다른 하나를 뒤집어 맞물리면 빈틈없이 정사각형이 됩니다. 계단 두 개를 마주 붙이면 네모가 되는 것과 같습니다.
삼각수를 셈하는 공식도 같은 그림에서 나옵니다. 같은 삼각형 둘을 맞붙이면 가로 n, 세로 n+1인 직사각형이 되기 때문에, 삼각수는 그 절반인 n(n+1)÷2입니다.
그들은 밤이면 조약돌을 마당에 늘어놓고 모양을 바꿔 가며 수를 들여다보았다고 전해집니다. 삼각형으로 놓았다가 네모로 옮겨 놓고, 다시 계단으로 쌓아 보는 식이었습니다. 수를 손으로 만지는 것으로 여긴 것입니다.
모임에서 악수의 수, 네트워크에서 연결선의 수가 삼각수입니다. n명이면 개입니다.
그래서 사람이 늘면 연결이 제곱으로 늘어납니다 — 조직이 커질수록 소통 비용이 급히 늘어나는 까닭입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
바둑돌로 쌓아 본다
바둑돌로 삼각형 모양을 만듭니다. 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10 처럼 늘어나는 수를 삼각수라고 합니다.
똑같은 삼각수 모양 두 개를 뒤집어서 서로 끼워 맞추어 보세요. 가로가 4칸, 세로가 5칸인 직사각형이 딱 만들어집니다. 직사각형 전체 돌 개수 20개를 반으로 나누면 10개가 바로 나옵니다.
점을 삼각형으로 쌓아 보세요
삼각형 둘을 붙이면 정사각형이 됩니다.
공식 찾기
번째 삼각수 두 개를 합치면 가로가 , 세로가 인 직사각형이 되므로 입니다.
이웃한 두 삼각수를 더해 보세요. 이 되어 놀랍게도 사각수(제곱수)가 됩니다. 바둑돌 그림에서도 두 삼각형이 모여 정사각형 하나를 채우는 것이 한눈에 보입니다.
삼각수이면서 사각수
펠 방정식 x² − 2y² = 1 과 같은 이야기입니다.
귀납법으로 증명
삼각수의 공식 은 수학적 귀납법으로 엄밀하게 증명됩니다. 일 때 성립하고, 일 때를 가정하여 일 때의 성립을 보입니다.
삼각수를 입체로 쌓아 올린 사면체수 로 확장되며, 이는 파스칼 삼각형의 하키스틱 항등식과 완벽하게 일치합니다.
오각수·육각수도
삼각수가 다각수의 벽돌입니다.
다각수 정리
다각수에 대한 연구는 페르마의 다각수 정리(Fermat Polygonal Number Theorem)로 정점에 달합니다. 모든 양의 정수는 최대 개의 각수의 합으로 표현된다는 정리입니다.
즉 모든 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합(가우스의 Eureka 정리), 4개의 사각수의 합(라그랑주 네 제곱수 정리)으로 표현됩니다. 코시가 1813년 모든 에 대해 이를 완전하게 증명했습니다.
페르마의 다각수 정리
페르마가 적어 놓고 증명은 안 남겼습니다 — 코시가 1813년에 증명했습니다.
풀어 보기
삼각수와 사각수 공식. 번째 삼각수를 이라 하자.
(1) 제5 삼각수 와 제6 삼각수 의 값을 각각 구하시오.
(2) 의 값을 계산하고, 이것이 과 같음을 보이시오.
(3) 자연수 35를 세 개 이하의 삼각수의 합으로 나타내시오.
(3) 삼각수는 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 등이 있습니다. 28 + 6 + 1 = 35 또는 21 + 11... 등을 찾아봅니다.
답과 풀이 보기
(1) ,
(2)
일반적으로
바둑돌로 하면 눈에 보입니다 — 삼각형 둘을 하나는 그대로, 하나는 뒤집어 맞물리면 정사각형이 됩니다.
(3) 삼각수는 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 … 입니다.
— 세 개로 됩니다.
가우스가 1796 년 일기에 적었습니다 — 「모든 자연수는 삼각수 셋 이하의 합이다.」 35 도 그 가운데 하나입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
도형으로 수를 보는 것은 강력한 방법입니다.
- 볼링핀과 당구공 — 10개, 15개가 삼각수인 것은 우연이 아닙니다
- 악수의 수 — n명이 서로 악수하면 삼각수만큼입니다
- 그림으로 하는 증명 — 식을 몰라도 돌을 옮겨 보면 참임을 알 수 있습니다
이어지는 장
이웃한 두 삼각수를 이어 붙이면 온전한 정사각형 모양의 사각수가 된다는 사실은, 1부터 100까지 연속한 자연수의 합을 짝지어 사각형 넓이로 셈했던 소년 가우스의 번뜩이는 통찰과 같습니다 — 제18장에서 수의 덧셈이 도형으로 변하는 마법을 경험해 보세요.
영감을 받은 곳
기원전 6세기 피타고라스 학파가 돌멩이를 늘어놓아 연구한 형상수(Figurate numbers) 개념과, 2세기 니코마코스의 『산술 입문』에 기록된 정수론적 해석에서 비롯되었습니다.