스튜어트 정리
삼각형을 가르는 선분의 만능 공식
삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 밑변 BC 위의 아무 점 D로 선분을 하나 내리세요. 밑변이 과 두 토막으로 쪼개집니다.
세 변의 길이와 쪼개진 두 선분의 길이만 알면 선분 AD의 길이를 공식 하나로 뚝딱 계산할 수 있습니다. 직각삼각형이 아닌 삐딱한 일반 삼각형에서도 왜 피타고라스 정리처럼 명쾌한 길이 공식이 성립할까요?
이야기
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1746년 에든버러. 스물아홉의 매슈 스튜어트가 이 정리를 발표합니다. 이듬해 그는 매클로린의 뒤를 이어 에든버러 대학 수학 교수가 됩니다. 서른 살이었습니다.
그런데 그가 평생 힘을 쏟은 일은 이것이 아니었습니다. 그는 천문학으로 이름을 남기고 싶어 했고, 1763년에 지구에서 해까지의 거리를 계산해 책으로 냈습니다. 그 값은 크게 틀렸고 호된 비판을 받았습니다. 정작 그의 이름을 남긴 것은 젊은 날 곁가지로 적어 둔 이 삼각형 공식 하나였습니다.
왜 이런 식이 성립할까요. 점 D의 양쪽에 생긴 두 각 ∠ADB와 ∠ADC를 보십시오. 둘을 합치면 180도입니다. 그래서 두 각의 코사인은 크기가 같고 부호만 반대입니다.
양쪽 삼각형에 코사인법칙을 한 번씩 쓰고 알맞은 수를 곱해 더하면, 서로 부호가 반대인 코사인이 그 자리에서 지워집니다. 각이 통째로 사라지고 길이만 남는 것입니다. 그래서 각을 하나도 모르고 길이만으로 답이 나옵니다.
⭐ D를 중점에 두면 이 식이 곧 중선의 길이 공식이 됩니다.
구조물의 버팀대 길이를 구하는 식입니다. 삼각형 안에 대각선을 넣었을 때 그 길이가 세 변만으로 나옵니다.
다리의 트러스, 크레인 팔, 지붕 서까래의 길이를 셈할 때 같은 식이 쓰이고, 로봇 팔의 자세 계산에도 나타납니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
밑변을 2대 1로 나눠 그어 본다
삼각형 꼭짓점에서 마주 보는 밑변으로 선을 하나 긋습니다. 밑변의 정가운데(중점)로 선을 그으면 유명한 중선정리가 됩니다.
가운데가 아니라 2대 1이나 3대 1로 삐딱하게 나누는 선을 그어도 그 길이를 정확히 계산해 주는 만능 열쇠 공식이 있습니다. 스코틀랜드 수학자 스튜어트가 발견한 정리입니다.
삼각형 안의 선분을 재 보세요
세 변과 나눈 비만 알면 안쪽 선분이 나옵니다.
코사인법칙 두 번으로 지운다
점 D에서 갈라진 두 각 와 는 합쳐서 정확히 180도(평각)를 이룹니다. 따라서 두 각의 코사인 값은 절댓값은 같고 부호만 반대()입니다.
양쪽 두 삼각형에서 코사인법칙을 각각 쓴 뒤, 코사인 항이 사라지도록 길이를 교차하여 곱해 더하면 코사인이 마법처럼 싹 지워지고 변들의 곱셈 공식만 남습니다.
중선의 길이
스튜어트에 m = n 을 넣으면 바로 나옵니다.
코사인 두 번으로 증명
삼각형의 변을 라 하고, 점 D가 변 BC를 ()으로 나눌 때 선분 에 대해 다음 공식이 성립합니다.
. 인 특별한 경우가 바로 파푸스의 중선정리 입니다.
각의 이등분선
각의 이등분선은 밑변을 b : c 로 나눕니다.
중선·각이등분선의 특별한 경우
스튜어트 정리는 유클리드 공간의 계량 텐서와 벡터 내적의 대수적 분해를 기하학적으로 표현한 것입니다. 각의 이등분선 정리, 방심선 길이 계산 등 삼각형 내측선 길이 산출의 표준 도구입니다.
3차원 다포체 모서리 해석을 거쳐 사면체의 체바선 길이 공식으로 일반화되며, 측량학의 삼각망 도선법 및 기계 로봇 팔 링크 구조물의 응력 및 변위 계산에 필수적으로 응용됩니다.
아폴로니오스 정리
평행사변형 법칙 |u+v|²+|u−v|² = 2|u|²+2|v|² 과 같은 이야기입니다.
풀어 보기
스튜어트 정리와 선분의 길이. 삼각형 ABC에서 이다. 변 BC 위의 점 D에 대해 일 때 다음 물음에 답하시오.
(1) 스튜어트 정리 공식 에 주어진 값들을 대입하여 선분 의 방정식을 세우시오.
(2) 선분 AD의 길이 를 구하시오.
(3) 점 D가 변 BC의 중점일 때 성립하는 특별한 경우의 정리 이름을 쓰시오.
(1) 즉 입니다. (2) 입니다. (3) 파푸스의 중선정리입니다.
답과 풀이 보기
(1) 이고 이므로
(2) 입니다.
⭐ 딱 떨어집니다. 는 와 길이가 같으므로 삼각형 ABD 가 이등변삼각형임을 뜻합니다.
(3) 중선 정리(파푸스의 정리)입니다.
를 넣으면
곧 「두 변의 제곱의 합 = 2 × (중선의 제곱 + 밑변 절반의 제곱)」 입니다.
이 문제에서 D 가 중점()이었다면 였을 것입니다.
세 변만 알면 안쪽 어느 선분이든 길이를 구할 수 있습니다 — 각도 재지 않고, 코사인법칙을 두 번 쓰지 않고 한 줄로.
1746 년 매슈 스튜어트가 발표했지만 그도 스승 심슨에게 배운 것이었고, 인도의 바스카라는 600 년 전에 이미 같은 것을 알고 있었습니다.
⭐ 외우기 어려우면 이렇게 읽으십시오 — 「먼 변의 제곱에 가까운 토막을, 가까운 변의 제곱에 먼 토막을」 곱해서 더합니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「하나로 여럿을 덮는 식」이 좋은 정리입니다.
- 중선 정리 — 스튜어트에서 곧바로 나옵니다
- 각의 이등분선 — 길이를 세 변으로 나타낼 수 있습니다
- 확인 — 정삼각형(a=b=c)에 중점을 넣으면 높이가 나옵니다
이어지는 장
밑변을 가르는 점이 정확히 한가운데 오면 중학교에서 다루는 중선정리가 저절로 모습을 드러냅니다 — 제17장 의 피타고라스 정리가 일반 삼각형 내부를 가르는 모든 선분의 길이를 구하는 공식으로 활짝 넓어집니다.
영감을 받은 곳
스코틀랜드 수학자 매튜 스튜어트(Matthew Stewart)가 1746년 에든버러에서 출간한 논문집 『고등 수학에 매우 유용한 몇 가지 일반 정리』(Some General Theorems)에 수록되었습니다.