되풀이되지 않는 무늬
되풀이 없이 바닥 채우기
정삼각형, 정사각형, 정육각형 타일은 벽지나 보도블록처럼 같은 무늬를 복사해 붙여넣듯 평면을 끝없이 메울 수 있습니다.
두 종류의 날씬한 마름모와 뚱뚱한 마름모 조각을 가져와 보세요. 규칙대로 바닥을 가득 메우면 빈틈없이 꽉 채워지지만, 어떤 패턴도 영원히 똑같이 되풀이되지 않는 타일링이 가능할까요?
이야기
Cirone-Musi, Festival della Scienza
CC BY-SA 2.0 · 위키미디어 공용
바닥을 빈틈없이 채우면 보통 무늬가 되풀이됩니다. 타일 한 장을 옆으로 밀면 전체가 자기 자신과 딱 겹칩니다.
그런데 절대 되풀이되지 않게 채울 수 있을까요?
로저 펜로즈가 1974년에 답했습니다. 마름모 두 가지만으로, 빈틈없이 채우면서도 영원히 되풀이되지 않는 무늬를 만들 수 있습니다.
비결은 마름모 변에 맞물림 규칙을 두는 것입니다. 아무렇게나 붙일 수 없게 하면, 채워는 지는데 무늬가 되돌아오지 않습니다.
이 무늬에는 다섯 겹 대칭이 나타납니다. 그런데 되풀이되는 무늬에서는 다섯 겹 대칭이 불가능합니다. 오각형으로 바닥을 못 채우는 것과 같은 이치입니다.
그래서 1982년 대니얼 셰흐트만이 금속에서 다섯 겹 대칭을 발견했을 때 아무도 믿지 않았습니다. 그는 조롱을 견뎠고, 2011년 노벨 화학상을 받았습니다. 그 물질을 준결정이라 합니다.
수학이 먼저 상상하고 자연이 뒤따라온 드문 예입니다. 되풀이되지 않는 원자 배열을 가진 준결정이 실제로 발견되어 2011년 노벨 화학상이 주어졌습니다.
준결정은 마찰이 적고 잘 눌어붙지 않아 프라이팬 코팅과 수술 도구에 쓰입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
두 마름모로 채워 본다
두 종류의 마름모 조각을 색종이로 오려 바닥에 맞춰 보세요. 꼭짓점 주변에 별 모양도 나오고 꽃 모양도 생깁니다.
평면을 빈틈없이 완벽하게 채울 수 있는데도, 아무리 넓게 펼쳐 봐도 전체 판을 평행이동해서 똑같이 겹치는 반복 무늬가 단 한 군데도 없습니다. 이를 펜로즈 타일링(Penrose tiling)이라 합니다.
되풀이되지 않는 무늬
조각의 변 길이 비가 황금비 입니다.
규칙을 지키며 넓히기
1974년 영국의 수학자이자 물리학자 로저 펜로즈(Roger Penrose)가 고안했습니다.
이 타일링의 두 마름모는 황금비 와 직결된 각도(72도, 36도, 144도, 108도)를 갖습니다. 무한히 넓은 바닥을 채웠을 때 두 종류 마름모 개수의 비율은 신기하게도 정확히 황금비로 수렴합니다.
두 조각의 비율
무리수 비이기 때문에 절대 되풀이될 수 없습니다.
비주기 채우기
펜로즈 타일링은 평행이동 대칭성은 없지만(비주기적), 회전 대칭성인 5회 대칭성(5-fold symmetry)을 지닙니다.
결정학(Crystallography)의 고전적 법칙에 따르면 2차원 주기적 격자에서는 5회 회전 대칭이 불가능하다고 여겨졌으나, 펜로즈 타일링은 비주기적 구조를 통해 5회 대칭을 완벽하게 실현하여 결정학의 패러다임을 바꿨습니다.
팽창시켜 보세요
스스로 닮은 구조 — 확대해도 같은 규칙이 나옵니다.
준결정
1984년 댄 셰흐트만(Dan Shechtman)은 펜로즈 타일링의 원리를 3차원 원자 배열로 실현한 준결정(Quasicrystal)을 실험적으로 발견하여 2011년 노벨 화학상을 수상했습니다.
5차원 고차원 초입방 격자를 특정 무리수 각도의 2차원 평면으로 사영(Cut-and-project)하여 비주기 타일링을 생성하는 고차원 대수기하학의 아름다운 결실입니다.
준결정이 실제로 있습니다
그런데 1982년 셰흐트만이 5 겹 대칭 물질을 발견했습니다 — 2011년 노벨상.
풀어 보기
펜로즈 타일의 기하학과 대칭. 다음 물음에 답하시오.
(1) 펜로즈 굵은 마름모의 내각(72°, 108°)과 얇은 마름모의 내각(36°, 144°)을 합쳐, 한 점 주위에 360°를 빈틈없이 메우는 각도 조합의 예시를 하나 제시하시오.
(2) 정오각형의 한 내각의 크기를 구하고, 왜 정오각형 단독으로는 평면 테셀레이션(주기적 타일링)이 불가능한지 설명하시오.
(3) 펜로즈 타일링에서 넓은 면적을 채울 때 두 타일의 개수 비가 황금비 로 수렴하는 비주기적 성질의 의의를 서술하시오.
(2) 는 정오각형의 내각 108도가 360의 약수가 아니라는 점을 지적하세요.
답과 풀이 보기
(1) 여러 가지가 됩니다. 보기를 들면
· 굵은 마름모의 를 다섯 개 — (별 모양)
· 얇은 마름모의 를 열 개 —
· 섞어서
· 넷을 하나씩
⭐ 네 각이 모두 36 의 배수라 이렇게 딱 떨어집니다. 펜로즈 타일에서 실제로 쓰이는 조합은 일곱 가지입니다.
(2) 정오각형의 한 내각은 입니다.
한 점 둘레를 빈틈없이 메우려면 내각을 여러 개 모아 정확히 를 만들어야 하는데,
— 정수가 아닙니다.
세 개를 모으면 로 가 비고, 네 개면 로 겹칩니다. 그래서 혼자서는 못 채웁니다.
(정삼각형 60°, 정사각형 90°, 정육각형 120° 는 모두 360 의 약수라 됩니다.)
(3) 두 타일의 개수 비가 — 무리수로 수렴한다는 것은 되풀이되는 마디가 없다는 뜻입니다.
만약 어떤 무늬가 주기적으로 되풀이된다면 그 개수 비는 반드시 유리수여야 합니다. 그런데 는 두 정수의 비로 쓸 수 없으므로 이 타일링은 영원히 되풀이되지 않습니다.
⭐ 그런데도 빈틈은 하나도 없고, 어떤 무늬든 다른 곳에 또 나타납니다. 질서는 있는데 주기는 없습니다.
1974 년 펜로즈가 이것을 순수한 놀이로 만들었습니다. 자연에는 없다고들 했습니다.
1982 년 셰흐트만이 알루미늄 합금에서 바로 그 구조를 찾아냈습니다. 라이너스 폴링은 「준결정 같은 것은 없다, 준과학자가 있을 뿐」이라며 비웃었지만, 셰흐트만은 2011 년 노벨 화학상을 받았습니다.
더 멀리
수학이 먼저 상상하고 자연이 뒤따라온 사례입니다.
- 준결정 — 되풀이되지 않는 원자 배열을 가진 물질입니다
- 중세 이슬람 무늬 — 일부 타일 무늬가 펜로즈 배열과 닮았다는 연구가 있습니다
- 직접 만들기 — 두 마름모를 종이로 오려 규칙대로 붙여 보세요
이어지는 장
정오각형만으로는 평면을 채울 수 없다는 제41장의 한계가, 마름모 두 가지의 맞물림 규칙을 통해 비주기 무늬라는 새로운 세계를 엽니다 — 제41장 에서 평면 채우기의 규칙을 먼저 만나보세요.
영감을 받은 곳
로저 펜로즈가 1974년에 발표한 비주기 타일링 논문 「Pentaplexity: A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane」(The Mathematical Intelligencer, 1979)과 마틴 가드너의 1977년 《사이언티픽 아메리칸》 소개에서 왔습니다.