한 점에서의 빠르기

50m 를 10초에 걸었다면 1초에 5m 씩 간 셈입니다. 그런데 처음에는 천천히, 나중에는 빨리 걸었다면 어느 순간에도 5m 가 아니었을 수 있습니다.

그래서 잘게 쪼갭니다. 1초마다 몇 m 를 갔는지 적어 보세요. 그다음 0.1초마다 적어 보세요. 쪼갤수록 「그때 그 순간」에 가까워집니다.

쪼개고 또 쪼개면 어떤 수에 다가갑니다. 그것이 그 순간의 빠르기입니다.

그래프 위에 두 점을 찍고 직선으로 이어 보세요. 그 직선의 기울기가 두 점 사이의 평균 빠르기입니다.

이제 두 점을 가까이 붙여 보세요. 직선이 조금씩 기울어지다가, 아주 가까워지면 곡선에 살짝 닿는 직선이 됩니다. 그것을 접선이라 합니다.

접선의 기울기가 그 점에서의 빠르기입니다. 그림으로 보면 0으로 나누는 무서움이 사라집니다.

정의는 한 줄입니다.

는 0이 되지 않습니다. 0에 다가갈 뿐입니다. 그래서 분모가 살아 있습니다.

로 해 보면 이고, 이면 입니다. 약분하고 나면 0으로 나눈 자리가 사라집니다.

「미분할 수 있다」는 것은 그 점에서 곡선이 직선처럼 보인다는 뜻입니다. 확대하면 할수록 곧아지는 것입니다.

그런데 어디를 확대해도 곧아지지 않는 곡선이 있습니다. 1872년 바이어슈트라스가 만든 함수가 그것입니다. 끊긴 데는 한 곳도 없는데 어느 점에서도 접선이 없습니다. 제47장 의 눈송이가 그 사촌입니다.

여러 변수로 넓히면 기울기가 방향을 갖게 되어 기울기 벡터가 되고, 그것이 오늘 기계학습의 뼈대입니다.