반원 위의 직각
반원 위에 점을 찍어 각을 재 보세요
둥근 접시를 대고 종이에 반원을 그린 뒤 지름의 양 끝을 잡습니다. 호 위의 아무 자리에나 점을 하나 콕 찍어 양 끝과 이어 보세요.
각도기로 그 각을 재면 어디에 점을 찍든 정확히 90도가 나옵니다. 왜 반원 위에 그린 삼각형은 예외 없이 직각삼각형이 될까요?
이야기
Wilhelm Meyer
Public domain · 위키미디어 공용
기원전 6세기 밀레토스는 지중해로 열린 항구였습니다. 탈레스는 그곳의 장사꾼이자 여행자였습니다. 이집트에 가서 그림자로 피라미드의 높이를 쟀다는 이야기가 전해집니다.
그런데 이 정리 자체는 그보다 천 년 앞선 바빌로니아 점토판에도 남아 있습니다. 그러니 탈레스가 처음 안 사람은 아닙니다. 그의 이름이 붙은 까닭은 따로 있습니다. 그는 「그렇더라」에서 멈추지 않고 「왜 그런지 보여라」고 물은 첫 사람으로 기억되기 때문입니다.
답을 하나 찾은 것이 아니라 답을 요구하는 방식을 만든 것입니다. 수학이 측량술에서 학문으로 건너온 자리가 여기입니다.
까닭은 이등변삼각형 둘로 보입니다. 원의 중심에서 세 점까지 거리는 모두 반지름이라 같습니다. 그러니 삼각형이 이등변 둘로 갈라져 밑각이 같은 두 쌍이 생기고, 세 각의 합이 180도이므로 나뉜 두 각을 합치면 딱 90도가 됩니다.
직각을 만드는 가장 쉬운 방법입니다. 실과 못만 있으면 됩니다 — 반원을 그리고 지름의 양 끝과 이으면 자동으로 직각입니다.
목수와 석공이 오래전부터 이 방법으로 모서리를 맞췄고, 지금도 현장에서 쓰입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
반원 위에 점을 찍어 각을 재 본다
반원 호 위에 점을 왼쪽 끝에 찍어도, 꼭대기에 찍어도, 오른쪽 끝에 찍어도 양 끝을 이으면 언제나 반듯한 직각이 만들어집니다.
원의 중심과 꼭짓점을 선으로 이으면 반지름 길이가 똑같은 두 개의 이등변삼각형으로 쪼개집니다. 두 밑각의 성질을 합치면 직각이 되는 비밀을 눈으로 볼 수 있습니다.
반원 위를 걸어 보세요
지름이 만드는 중심각 180° 의 절반이기 때문입니다.
이등변삼각형 두 개로 증명
원의 중심을 라 하고 호 위의 점 와 이으면, 와 는 모두 반지름 을 두 변으로 갖는 이등변삼각형입니다.
두 밑각을 각각 라 하면 전체 삼각형의 내각의 합은 입니다. 양변을 2로 나누면 꼭짓점의 각 가 바로 증명됩니다.
중심각과 원주각
탈레스의 정리는 이 규칙의 한 가지 경우입니다.
원주각 정리의 특별한 경우
탈레스 정리는 원주각 정리(Inscribed Angle Theorem)의 가장 아름다운 특수한 경우입니다. 호에 대한 원주각의 크기는 중심각 크기의 정확히 절반()입니다.
지름에 대한 중심각이 평각인 이므로, 이에 대한 원주각은 점의 위치와 무관하게 로 불변합니다.
반원 안 삼각형의 넓이
그 자리가 꼭대기 — 넓이는 r² 입니다.
원과 각의 일반화
복소평면에서 세 점 가 이루는 각이 직각이라는 조건은 비조화비(Cross-ratio)가 순허수가 됨을 뜻하며, 이는 뫼비우스 변환(Möbius transformation) 하에서 원과 직선이 보존되는 근본 성질입니다.
또한 힐베르트 공간의 내적 기하학에서는 지름을 양 끝으로 하는 구면 위의 점이 직교성 을 만족하는 성질로 일반화됩니다.
복소평면에서 보면
순허수라는 것이 곧 직각이라는 뜻입니다.
풀어 보기
탈레스 정리와 빗변의 중심. 지름 의 길이가 인 반원 위의 한 점 에 대하여 이다.
(1) 각 의 크기를 구하시오.
(2) 피타고라스 정리를 이용하여 선분 의 길이를 구하시오.
(3) 선분 의 중점을 이라 할 때, 선분 의 길이를 구하시오.
(3) 은 원의 중심이므로 는 반지름의 길이 와 같습니다.
답과 풀이 보기
(1) — 탈레스 정리입니다. 지름을 밑변으로 하는 반원 위의 어떤 점에서 보아도 직각입니다.
(2)
(3) 은 지름의 중점이므로 곧 원의 중심입니다. 따라서 는 반지름이고 입니다.
이것이 탈레스 정리가 성립하는 까닭이기도 합니다. 이므로 두 개의 이등변삼각형이 생기고, 밑각들을 더하면 가 직각이 됩니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「지름을 보면 직각」은 재는 일에 그대로 쓰입니다.
- 직각 만들기 — 원과 지름만 있으면 자 없이 직각을 그릴 수 있습니다
- 기계 부품 검사 — 원의 중심을 찾을 때 직각을 이용합니다
- 원주각 — 이 정리는 「원주각은 중심각의 절반」이라는 더 큰 사실의 한 조각입니다
이어지는 장
반원 위에 점을 찍어 언제나 90도 직각을 만들어 내는 탈레스의 정리는, 직각삼각형의 세 변의 길이 사이에 성립하는 가장 유명한 정리의 완벽한 무대가 됩니다 — 제17장에서 직각이 펼쳐내는 아름다운 비례를 만나보세요.
이어지는 자료
영감을 받은 곳
기원전 6세기 밀레토스의 탈레스가 발견하고 증명했다고 디오게네스 라에르티오스의 『유명한 철학자들의 생애와 사상』에 전해지는 수학사 최초의 기명 정리입니다.