손가락으로 1023 까지
열 손가락으로 1023까지 세어 보세요
보통 손가락 열 개로는 10까지밖에 셀 수 없습니다. 하지만 손가락을 펴면 1, 접으면 0으로 약속해 보세요.
오른손 새끼손가락부터 1, 2, 4, 8, 16... 자리값을 정하면 열 손가락으로 무려 1023까지 셀 수 있습니다. 0과 1 단 두 글자로 어떻게 모든 수를 담을까요?
이야기
손가락 열 개로 몇까지 셀 수 있을까요? 하나씩 접으면 열까지입니다. 그런데 1023까지 셀 수 있습니다.
비결은 손가락마다 다른 값을 주는 것입니다. 엄지 1, 검지 2, 중지 4, 약지 8, 새끼 16 — 이렇게 두 배씩 늘려 갑니다. 한 손이면 31, 두 손이면 1023까지 됩니다.
이것이 이진법입니다. 자리마다 「있다·없다」 둘만 있으면 되고, 자리값은 두 배씩 늡니다. 우리가 쓰는 십진법은 열 배씩 늘 뿐, 생각은 똑같습니다.
컴퓨터가 이진법을 쓰는 까닭도 같습니다. 전기가 흐른다·안 흐른다 둘뿐이니 셈하기 편합니다. 여러분이 지금 보는 이 글도 결국 0과 1의 줄입니다.
손가락으로 13을 만들어 보세요. 8+4+1 이니 중지·약지를 접고… 어느 손가락을 접어야 할까요? 직접 해 보면 금세 익숙해집니다.
컴퓨터가 쓰는 유일한 수 체계입니다. 켜짐과 꺼짐 두 가지뿐인 스위치로 모든 수와 글자와 그림을 담습니다.
지금 이 글자도, 사진도, 소리도 전부 0과 1의 줄로 저장되어 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
손가락을 접어 이진법으로 센다
손가락 10개에 각각 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512라는 번호표를 붙입니다. 5를 나타내려면 4번과 1번 손가락만 펴면 됩니다(4+1=5).
열 손가락을 모두 펴면 이 됩니다. 펴고 접는 두 가지 상태만으로 상상도 못 할 만큼 큰 수를 세는 기적이 펼쳐집니다.
손가락을 접어 수를 만들어 보세요
열 손가락이면 1023 까지 — 하나 늘 때마다 두 배가 되니까요.
2진수 ↔ 10진수
우리가 일상에서 쓰는 10진법은 10배마다 자릿수가 올라가지만, 2진법(Binary)은 2배마다 자릿수가 올라갑니다.
10진수 13은 이므로 2진수로 라고 씁니다. 스위치가 켜짐(1)과 꺼짐(0)으로 작동하는 모든 전자기기의 기본 언어입니다.
자릿수가 늘면 얼마나 커지나
10 자리면 1024 가지 — 그래서 1 KB 가 1024 바이트입니다.
자리값의 일반화·다른 진법
모든 자연수 은 2의 거듭제곱의 유일한 합으로 표현됩니다. 이는 2진법 표현의 유일성 정리에 기반합니다.
컴퓨터는 음수를 표현하기 위해 2의 보수법(Two's complement)을 사용하여 뺄셈을 덧셈 회로 하나로 통일하고, 부동소수점(IEEE 754) 표준으로 실수 데이터를 부호·지수·가수로 압축하여 정밀하게 다룹니다.
밑을 바꿔 보세요
정수로는 3 이 가장 알뜰하지만, 회로가 만들기 쉬워 2를 씁니다.
부호와 컴퓨터
라이프니츠의 2진법 체계와 조지 불의 불 대수(Boolean Algebra)는 클로드 섀넌에 의해 디지털 스위칭 회로 이론으로 결합되어 현대 정보화 혁명을 열었습니다.
오늘날 양자 정보학에서는 0과 1의 고전 비트(Bit)를 넘어 블로흐 구면 상의 중첩 상태를 가지는 큐비트(Qubit) 공간으로 진법 체계가 비약하고 있습니다.
정보의 양을 재 보세요
스무고개로는 1,048,576 가지를 가릴 수 있습니다.
풀어 보기
2진법과 10진법의 상호 변환. 다음 물음에 답하시오.
(1) 2진수 을 10진수로 변환하시오.
(2) 10진수 을 2진수로 변환하시오.
(3) 손가락 10개로 표현할 수 있는 상태의 총 개수와, 0부터 시작하여 표현할 수 있는 최대 정수를 구하시오.
(1) , (2) , (3) 총 가지이며 최대는 입니다.
답과 풀이 보기
(1)
(2) 이므로
(3) 손가락 하나마다 접거나 펴는 두 가지이므로 가지.
0 부터 세면 가장 큰 수는 입니다.
손가락으로 열까지밖에 못 센다고 여기지만, 자릿값을 쓰면 같은 열 개로 천 넘게 셀 수 있습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
이진법은 우리 둘레에 가득합니다.
- 컴퓨터와 휴대폰 — 모든 자료가 0과 1로 저장됩니다
- QR 코드 — 검은 칸과 흰 칸이 곧 1과 0입니다
- 저울 추 — 1·2·4·8그램 추 넷이면 15그램까지 잴 수 있습니다
이어지는 장
손가락 열 개를 폈다 접으며 0과 1로 천 단위를 세는 이진법의 마법은, 상대방을 반드시 이기는 필승 전략을 이진수 덧셈으로 찾아내는 돌 가져가기 놀이의 핵심 무기가 됩니다 — 제54장에서 그 놀라운 필승법을 손에 쥐어 보세요.
영감을 받은 곳
고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 1703년 파리 왕립 과학 아카데미에 발표한 논문 「이진법 산술에 관한 설명」에서 0과 1의 2진 체계를 확립했습니다.