삼각형의 각의 합이 180°가 아닐 때
공 위에 삼각형을 그려 보세요
둥근 농구공이나 지구본 위에 북극점에서 적도로 두 줄을 내리고, 적도를 따라 두 선을 이어 삼각형을 그립니다.
세 꼭짓점의 각도를 각도기로 재어 보면 90도 세 개가 모여 270도가 됩니다. 왜 평면 밖으로 나가면 삼각형의 각이 180도를 넘길까요?
이야기
Christian Albrecht Jensen
Public domain · 위키미디어 공용
삼각형 세 각을 더하면 180도입니다. 종이 삼각형의 세 귀퉁이를 뜯어 나란히 붙여 보면 곧은 선이 됩니다. 초등학생도 손으로 확인할 수 있습니다.
그런데 이것은 평평한 곳에서만 참입니다.
공 위에 삼각형을 그려 보세요. 북극에서 적도까지 곧게 내려오고, 적도를 따라 조금 가고, 다시 북극으로 곧게 올라옵니다. 적도에서 만나는 두 각이 각각 90도입니다. 그런데 북극에도 각이 있습니다. 그러니 합이 180도를 넘습니다.
이것은 실수가 아닙니다. 굽은 면 위에서는 다른 기하가 선다는 뜻입니다. 이천 년 동안 사람들은 「평행선은 만나지 않는다」를 증명하려 애썼는데, 결국 밝혀진 것은 그것이 증명할 수 없는 약속이라는 사실이었습니다.
그리고 그 약속을 바꾸자 새로운 기하가 태어났습니다. 아인슈타인이 우주를 설명할 때 쓴 것이 바로 그 기하입니다.
공 위에서 각의 합이 180도를 넘는 까닭은 면이 바깥으로 부풀어 있기 때문입니다. 부푼 만큼 세 각이 벌어집니다. 그리고 넘치는 각의 크기가 삼각형의 넓이에 정확히 비례합니다. 작은 삼각형은 거의 180도이고, 지구를 팔등분한 큰 삼각형은 세 각이 모두 직각이라 270도가 됩니다.
비행기 항로가 지도에서 휘어 보이는 까닭입니다. 지구 위에서 가장 짧은 길은 직선이 아니라 대원이고, 그 위의 삼각형은 각의 합이 180도를 넘습니다.
서울에서 뉴욕으로 갈 때 북극 쪽으로 도는 것이 실제로 더 가깝습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
공 위에 삼각형을 그려 각을 재 본다
평평한 종이에 삼각형을 그리면 세 각의 합은 항상 180도입니다. 하지만 둥근 축구공 표면에 세 점을 찍고 최단거리 선으로 이어 봅니다.
북극에서 출발해 적도로 내려오는 두 선은 각각 적도와 90도로 만납니다. 북극의 각도까지 더하면 세 각의 합이 180도를 훌쩍 넘어 200도, 270도가 되는 신기한 일이 일어납니다.
삼각형을 찢어 붙여 보세요
평행선을 그으면 엇각으로 곧바로 보입니다.
평면과 견주기
공 표면은 바깥으로 굽어 있는 양의 곡률을 가집니다. 그래서 평행하게 출발한 두 직선도 위로 올라가면서 북극점에서 결국 만나게 됩니다.
평면에서는 평행선이 영원히 만나지 않아 각의 합이 180도이지만, 구면에서는 선들이 서로를 향해 휘어지므로 삼각형의 각의 합이 언제나 180도보다 큽니다. 반대로 안장처럼 오목한 면에서는 180도보다 작아집니다.
다각형은 어떨까요
외각의 합은 언제나 360° — 변이 몇이든 한 바퀴입니다.
구면삼각형의 넓이
구면삼각형의 세 각을 라 할 때, 180도를 초과하는 양 를 구면 과잉(Spherical Excess)이라 부릅니다.
지라르의 정리(Girard's Theorem)에 따르면 반지름이 인 구면 위 삼각형의 넓이는 로 각의 초과분에 정확히 비례합니다.
구 위에서는
넘친 각이 곧 넓이입니다 — 가우스–보네 정리.
비유클리드 기하
가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet Theorem) 는 미분기하학의 곡률 과 내각의 합을 하나로 엮습니다.
유클리드의 제5공준(평행선 공준)을 부정함으로써 탄생한 리만 기하학과 로바체프스키 쌍곡기하학은 20세기 아인슈타인의 일반상대성이론에서 시공간의 휘어짐과 중력을 기술하는 기본 언어가 되었습니다.
휘어진 정도가 정합니다
평면(곡률 0)일 때만 정확히 180 — 그것이 유클리드의 세계입니다.
풀어 보기
구면삼각형의 내각의 합과 넓이. 반지름의 길이가 인 구면 위에 세 내각이 모두 인 구면삼각형이 있다.
(1) 이 구면삼각형의 세 내각의 합을 라디안과 도() 단위로 각각 구하시오.
(2) 구면 과잉 의 값을 라디안으로 구하시오.
(3) 지라르의 정리 를 이용하여 이 삼각형의 넓이를 구하고, 구 전체 겉넓이 의 과 일치하는지 확인하시오.
(3) 로 완벽히 일치합니다.
답과 풀이 보기
(1)
(2) (라디안)
(3) 입니다.
구 전체 겉넓이의 은 — 정확히 같습니다.
그럴 수밖에 없습니다. 세 각이 모두 직각인 구면삼각형은 구를 여덟 조각으로 똑같이 나눈 것 중 하나이기 때문입니다. 지구본에서 적도와 두 자오선으로 잘라 낸 한 조각을 떠올려 보세요.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「굽은 곳의 기하」는 생각보다 가까이 있습니다.
- 비행기 항로 — 지도에서는 휘어 보이는데 실제로는 그것이 가장 짧은 길입니다
- 지도 제작 — 둥근 지구를 평평한 종이에 옮기면 반드시 어딘가 일그러집니다
- 일반상대성이론 — 무거운 것이 시공간을 굽히고, 굽은 곳에서는 삼각형의 각의 합이 달라집니다
이어지는 장
평평한 종이 위에서 삼각형의 세 각의 합이 항상 180도였던 까닭은 유클리드의 평행선 공준 덕분이었음을 굽은 공간을 통해 깨닫게 됩니다 — 제142장에서 기하학의 거대한 전환점을 만나보세요.
영감을 받은 곳
알베르트 지라르가 1629년 저서 『대수학의 새로운 발명』(Invention nouvelle en l'algèbre)에서 구면삼각형의 면적과 내각의 합의 관계(지라르의 정리)를 밝힌 기록에서 왔습니다.