헤론의 공식
세 변의 길이만 재어 보세요
삼각형을 그리고 자로 세 변의 길이를 잰 다음 높이를 재려고 수선을 내려 봅니다. 밑변에 수직인 높이를 눈대중으로 똑바로 긋기는 까다롭습니다.
하지만 높이를 단 1밀리미터도 재지 않고 오직 세 변의 길이 세 개만으로 정확한 넓이를 뽑아내는 기적의 공식이 있습니다. 높이 없이 어떻게 넓이가 완벽하게 계산될까요?
이야기
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1세기 알렉산드리아의 헤론은 수학자이기 전에 기계 만드는 사람이었습니다. 김을 뿜어 스스로 도는 쇠공을 만들었고, 제단에 불을 붙이면 신전 문이 저절로 열리는 장치를 만들었으며, 동전을 넣으면 성수가 나오는 통도 만들었습니다.
그런데 그가 이 공식을 적어 둔 책에는, 정작 그보다 앞서 아르키메데스가 알고 있었다는 말이 아라비아 학자들을 통해 전해집니다. 누가 먼저였는지는 이제 가릴 수 없습니다.
어느 쪽이든 이 공식이 왜 귀했는지는 분명합니다. 헤론은 땅을 재는 사람이었고, 밭에서는 높이를 잴 수가 없기 때문입니다. 어디가 수직인지 알려면 이미 도구가 필요한데, 세 변의 길이는 줄자만 있으면 누구나 잽니다.
그래서 이 식은 「아름다운 공식」이기 전에 현장에서 쓰는 연장이었습니다. 3·4·5로 확인해 보십시오. 둘레의 절반이 6이니 6×3×2×1 = 36, 그 제곱근은 6. 밑변 3에 높이 4인 직각삼각형의 넓이 그대로입니다.
세 변만 재면 땅 넓이가 나옵니다. 높이를 잴 필요가 없어 측량에 편합니다.
지적도의 면적 계산, 위성 사진에서 삼각형으로 쪼개 넓이를 재는 일, 3D 모델의 표면적 계산이 모두 이 공식을 씁니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
세 변으로 삼각형을 만들어 본다
세 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형은 밑변 4, 높이 3으로 넓이가 6입니다. 길이가 5, 5, 6인 이등변삼각형은 높이가 4여서 넓이가 12입니다.
헤론의 마법 상자에 세 변을 더해 반으로 나눈 수 를 넣고 넷을 곱해 루트를 씌우면 어떤 찌그러진 삼각형이든 높이 없이 넓이가 튀어나옵니다.
세 변만으로 넓이를 구해 보세요
3·4·5 → s = 6 → √(6·3·2·1) = 6.
공식을 써서 넓이 구하기
삼각형의 세 변을 라 하고 둘레의 절반을 라 하면 넓이는 입니다.
삼각형의 넓이 공식 와 제2코사인법칙 를 결합하고, 인수분해를 통해 곱셈 공식으로 정리하면 정확히 유도됩니다.
삼각형이 되나 안 되나
5+6 = 11 < 12 라 삼각형이 아예 만들어지지 않습니다.
코사인 법칙에서 끌어내기
고대 알렉산드리아의 헤론(Heron)이 저서 『측량학(Metrica)』에 수록한 공식입니다. 내접원 반지름 과의 관계식 를 이용하면 도 바로 얻을 수 있습니다.
인도 수학자 브라마굽타는 원에 내접하는 사각형의 네 변 에 대해 로 이 공식을 아름답게 확장했습니다.
넓이가 가장 클 때
sin 이 1 이 되는 자리이기 때문입니다.
브라마굽타 공식으로 넓히기
헤론의 공식은 4차원 시공간과 임의 차원 심플렉스(단체)의 부피를 꼭짓점 간 거리 행렬로 구하는 케일리-멩거 행렬식(Cayley-Menger Determinant)의 2차원 특수형입니다.
측량학, GPS 삼각측량 삼변측량(Trilateration), 컴퓨터 그래픽스의 3D 메시 표면적 계산 및 로봇 공학의 기구학적 위치 결정 알고리즘의 기초 엔진으로 활용됩니다.
사각형으로 넓혀 보세요
브라마굽타(628년)가 헤론을 사각형으로 넓혔습니다.
풀어 보기
헤론의 공식과 삼각형의 넓이. 세 변의 길이가 인 삼각형이 있다.
(1) 반둘레 의 값을 구하시오.
(2) 헤론의 공식을 사용하여 이 삼각형의 넓이 를 구하시오.
(3) 원에 내접하는 사각형의 네 변이 일 때 브라마굽타 공식을 써서 사각형의 넓이를 구하시오.
(1) , (2) , (3) 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
(2) 입니다.
⭐ 높이를 한 번도 구하지 않았습니다. 보통은 밑변과 높이를 알아야 하는데, 헤론의 공식은 세 변만으로 끝냅니다.
(3) 입니다.
이므로
⭐ 브라마굽타 공식은 헤론 공식을 품고 있습니다 — 을 넣으면 가 되어 헤론 공식 그대로가 됩니다.
⛔ 다만 원에 내접할 때만 성립합니다. 네 변이 같아도 찌그러뜨리면 넓이가 줄어듭니다 — 원에 내접할 때가 가장 넓습니다.
기원후 60 년 무렵 알렉산드리아의 헤론이 남겼습니다. 자와 각도기 없이 줄자 하나로 땅의 넓이를 재는 방법이었습니다.
500 년 뒤 인도의 브라마굽타가 이것을 사각형으로 넓혔습니다. 둘은 서로를 몰랐지만 같은 자리에 이르렀습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「재기 쉬운 것만으로 구하기」는 실용의 핵심입니다.
- 측량 — 세 변만 재면 되니 땅 넓이 구하기에 좋습니다
- 브라마굽타 공식 — 원에 내접한 사각형으로 넓힌 것입니다
- 확인 — 세 변이 삼각형을 이루지 못하면 근호 안이 음수가 됩니다
이어지는 장
직각삼각형의 두 변으로 빗변을 구하던 피타고라스 정리에서 한 걸음 더 나아가, 높이를 모르는 일반 삼각형에서도 오직 세 변의 길이만으로 온전한 넓이를 계산해냅니다 — 제17장 의 고전적 밑바탕과 함께 살펴보세요.
영감을 받은 곳
서기 60년경 알렉산드리아의 헤론이 저술한 『기량측량기』(Metrica) 제1권에 실린 삼각형 넓이 공식과 기하학적 증명에서 왔습니다(아르키메데스의 초기 발견 전승 포함).