체바의 정리
삼각형 속 세 선이 만나는 기적
종이에 삼각형 ABC를 하나 그리고 내부에 점 P를 아무 데나 찍으세요. 세 꼭짓점에서 점 P를 지나는 선분을 그어 마주 보는 세 변과 만나는 점을 D, E, F라 부릅시다.
자로 잘려진 변의 길이 여섯 토막을 재어 건너뛰며 세 비를 곱해 보세요. 어떤 찌그러진 삼각형에서 시작해도 왜 세 비율의 곱은 정확히 1이 될까요?
이야기
1678년 밀라노. 조반니 체바가 『직선에 대하여』를 펴냅니다. 그는 대학교수가 아니라 만토바 공국의 수리 담당 관리였습니다. 강물을 어디로 돌릴지 다투는 일을 맡았고, 수학은 그 일의 연장이었습니다.
그런데 이 정리는 그가 처음이 아닙니다. 11세기 사라고사의 왕이자 수학자였던 유수프 알무타만이 이미 자기 책에 적어 두었습니다. 유럽은 그것을 모른 채 육백 년을 보내고 다시 찾아낸 것입니다.
왜 이 곱이 딱 1이 될까요. 길이가 아니라 넓이로 보면 보입니다. 밑변을 나눈 두 토막의 길이 비는, 그 두 토막을 밑변으로 삼고 같은 꼭짓점을 쓰는 두 삼각형의 넓이 비와 같습니다. 높이가 같기 때문입니다.
그렇게 세 비를 모두 넓이로 바꿔 곱하면 같은 넓이가 분자와 분모에 한 번씩 나타나 모조리 지워집니다. 그래서 남는 것이 1입니다.
바로 쓰이는 곳은 거의 없습니다. 「세 선이 한 점에서 만나는가」를 비의 곱 하나로 바꾸는 정리입니다.
다만 그 발상 — 복잡한 조건을 하나의 수로 줄이기 — 는 컴퓨터 기하와 로봇 제어에서 늘 쓰는 태도입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
세 중선을 그어 한 점을 본다
삼각형 꼭짓점에서 마주 보는 변의 가운데 점(중점)을 이어 봅니다. 세 선분이 신기하게도 한 점(무게중심)에서 딱 만납니다.
각을 반으로 나누는 선을 그어도 세 선분은 한 점에서 만납니다. 변의 쪼개진 비율들을 건너뛰며 곱했을 때 1이 되는 신비한 규칙이 숨어 있기 때문입니다.
세 선이 한 점에서 만날까요
다 1 로 두면 중선 셋 — 무게중심에서 만납니다.
삼각형에 선 세 개를 그어 본다
내부의 교점 P와 꼭짓점들이 만드는 작은 세 삼각형의 넓이를 비교해 봅시다. 밑변이 같은 직선 위에 있는 두 삼각형의 넓이비는 밑변의 길이비와 같습니다.
변 BC 위의 분할비 는 삼각형 PAB와 삼각형 PCA의 넓이비와 같습니다. 같은 방식으로 세 변의 분할비를 삼각형 넓이비로 바꿔 곱하면 분모와 분자가 모두 상쇄되어 곱이 깔끔하게 1이 됩니다.
중선·각의 이등분선·수선
중선은 (1)(1)(1) = 1, 수선도 곱하면 1 입니다.
넓이비로 증명·메넬라오스와 짝
체바의 정리는 삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB 위에 각각 점 D, E, F가 있을 때 세 직선 AD, BE, CF가 한 점에서 만날 필요충분조건이 임을 명시합니다.
무게중심(중선, ), 내심(각의 이등분선 정리 ), 수심, 방심의 공점선 정리가 모두 체바의 정리의 특별한 경우로 단 한 줄에 증명됩니다.
체바 점을 옮겨 보세요
자유도가 2 — 그래서 삼각형 안의 점이 평면을 이룹니다.
사영기하
체바의 정리는 메넬라오스 정리와 함께 사영기하학(Projective Geometry)의 쌍대성(Duality)을 구성하는 핵심 기둥입니다. 동차좌표계(Homogeneous Coordinates)와 바리센트릭 좌표계(Barycentric Coordinates)에서 세 선의 공점성은 행렬식의 값이 0이 되는 대수적 조건과 완전히 일치합니다.
컴퓨터 그래픽스의 삼각 폴리곤 메쉬 렌더링, 텍스처 매핑 보간 계산 및 로봇 팔의 기구학적 기하 제어에 직접적으로 응용됩니다.
메넬라오스와 견줘 보세요
부호 하나가 완전히 다른 뜻을 만듭니다 — 사영기하의 쌍대성입니다.
풀어 보기
체바의 정리와 변의 비. 삼각형 ABC 내부의 한 점 P를 지나는 세 직선 AD, BE, CF가 변 BC, CA, AB와 만난다.
(1) 이고 일 때, 선분의 비 를 가장 간단한 자연수의 비로 구하시오.
(2) 체바의 정리를 이용하여 삼각형의 세 중선이 반드시 한 점에서 만남을 증명하시오.
(3) 삼각형 ABC에서 세 변의 길이가 일 때, 각의 이등분선들의 교점(내심)에 의해 생기는 의 값을 구하시오.
(1) 이므로 , 즉 입니다. (3) 1입니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
체바의 정리 — 세 선이 한 점에서 만나면
(2) 중선은 각 변의 중점을 지나므로 세 비가 모두 1 입니다.
곱하면 이므로 체바의 정리의 역에 의해 세 중선은 반드시 한 점에서 만납니다. 그 점이 무게중심입니다.
⭐ 세 직선이 한 점에서 만나는 것은 우연히 일어나기 어려운 일입니다. 그런데 곱이 1 이라는 한 줄이 그것을 보장합니다.
(3) 1 입니다.
각의 이등분선 세 개는 내심에서 만나므로 체바의 정리에 의해 곱은 언제나 1 입니다.
직접 셈해도 같습니다 — 각의 이등분선 정리로
— 변의 길이가 모두 지워집니다.
1678 년 조반니 체바가 발표했지만, 11 세기 아랍의 알무타만 이븐 후드가 이미 알고 있었습니다.
⭐ 짝이 되는 정리가 있습니다 — 메넬라우스 정리는 세 점이 한 직선 위에 있을 때 곱이 이 됩니다. 한 점에서 만나느냐, 한 직선 위에 있느냐가 부호 하나로 갈립니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「한 점에서 만나는가」를 재는 자입니다.
- 메넬라오스 정리 — 곱이 −1 이면 세 점이 한 직선 위에 있습니다
- 사영기하 — 두 정리는 사영기하에서 하나로 묶입니다
- 직접 그리기 — 자로 여섯 조각을 재어 곱해 보세요
이어지는 장
삼각형 꼭짓점을 잇는 세 선분이 한 점에서 만나는 규칙은 선이 삼각형을 뚫고 지나갈 때와 짝을 이룹니다 — 제150장 에서 메넬라오스 정리와 앞뒤로 이어지는 쌍둥이 구조를 확인해 보세요.
영감을 받은 곳
이탈리아 수학자 조반니 체바(Giovanni Ceva)가 1678년 밀라노에서 출간한 저서 『직선에 관하여』(De lineis rectis)에서 발표했습니다.