별과 정리 · 제39장 · 1부 · 누구나 손댈 수 있는 것

4차원 정육면체

The Tesseract

그림자로만 볼 수 있는 도형

사차원 상자의 그림자

점 하나에서 시작해 선을 긋고, 선을 옆으로 밀어 사각형을 만들고, 사각형을 위로 들어 올려 정육면체를 만듭니다.

그렇다면 정육면체를 네 번째 방향으로 밀면 무엇이 될까요? 눈에 보이지 않는 4차원 정육면체의 꼭짓점과 면은 모두 몇 개일까요?

이야기

1884년 런던의 교장 에드윈 애벗이 『플랫랜드』라는 얇은 소설을 씁니다. 평면에 사는 정사각형이 어느 날 구를 만나 3차원을 배우는 이야기입니다. 정사각형은 자기 세계로 돌아가 그것을 설명하려다 감옥에 갇힙니다. 사람들이 4차원을 상상하는 법을 이 책에서 배웠습니다.

그런데 4차원 정육면체를 「본」 사람은 없어도, 그림자는 볼 수 있습니다. 3차원 정육면체가 종이에 육각형 그림자를 남기듯, 4차원 정육면체는 우리 공간에 「상자 안의 상자」 모양 그림자를 남깁니다. 안쪽 상자가 작아 보이는 것은 멀어서가 아니라 우리가 볼 수 없는 방향으로 누워 있기 때문입니다.

1954년 화가 살바도르 달리는 「십자가에 못 박힌 예수」에서 십자가를 4차원 정육면체를 펼친 모양으로 그렸습니다.

보지 못해도 셀 수는 있습니다. 밀 때마다 원래 것과 옮겨진 것 둘이 생기기 때문에 꼭짓점은 1, 2, 4, 8, 16으로 두 배씩 늡니다.

모서리는 조금 다릅니다. 원래 모서리와 옮겨진 모서리가 각각 있고, 꼭짓점마다 새 모서리가 하나씩 생깁니다. 그래서 정육면체의 12에서 12+12+8 = 32가 됩니다.

오늘 이것이 하는 일

자료를 다루는 곳은 늘 고차원입니다. 사진 한 장이 수만 차원의 점이고, 인공지능은 그런 공간에서 거리를 잽니다.

「4차원을 그릴 수는 없지만 셈할 수는 있다」는 이 태도가 지금 데이터 과학의 바탕입니다.

계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로

초4 · 초5 — 손으로 해 본다

점→선→면→입체 로 늘려 본다

차례대로 모양을 늘려 봅니다. 점(0차원)은 꼭짓점 1개, 선분(1차원)은 2개, 정사각형(2차원)은 4개, 정육면체(3차원)는 8개입니다.

차원이 하나 올라갈 때마다 꼭짓점 수가 2배씩 늘어납니다. 그렇다면 4차원 정육면체는 꼭짓점이 16개일 것입니다. 규칙을 찾아 손으로 표를 그리며 상상해 보세요.

차원을 올려 보세요

차원 n 슬라이더를 0(점)→1(선)→2(면)→3(입체)→4(초입체)로 올린다

꼭짓점 —모서리 —2 차원 면 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

차원 d — 4

견줄 자리 db — 8

점 1개로 시작했는데, 그런데 차원을 올릴 때마다 자신을 복제하며 1→2→4→8→16개로 꼭짓점이 정확히 두 배씩 튀어나온다
3차원 주사위 2개를 4차원 방향으로 잡아당기면 꼭짓점 16개짜리 초입방체가 만들어진다

중1 · 중2 — 까닭을 찾는다

꼭짓점·모서리 수 세기

정육면체를 평면에 비추면 사각형 안에 작은 사각형이 들어간 그림자가 생깁니다. 마찬가지로 4차원 정육면체를 3차원에 비추면 정육면체 안에 작은 정육면체가 들어간 입체 그림자(테서랙트)가 됩니다.

4차원 정육면체는 꼭짓점 16개, 모서리 32개, 2차원 정사각형 면 24개, 그리고 둘러싸고 있는 3차원 정육면체 입체 면 8개로 이루어져 있습니다.

전개도를 세어 보세요

n차원 초입방체의 k차원 구성 요소 개수를 이항정리 (2+1)^n 전개 막대로 펼친다

전개도 수 —차원 —면의 수 —

차원 d — 3

단순히 꼭짓점만 2배로 느는 게 아니라, 그런데 4차원 정육면체(테서랙트) 속에는 3차원 정육면체 8개가 껍질(입체포)로 사방을 둘러싸고 있다
우리가 사는 3차원 정육면체 상자 8개를 이어 붙여야 4차원 상자 1개가 완성된다

고1 · 고2 — 넓혀 본다

전개도와 그림자

차원 초입방체(Hypercube) 의 차원 구성 요소의 개수 은 이항계수로 가 됩니다.

일 때 꼭짓점()은 개, 모서리()는 개, 면()은 개, 입체()는 개입니다. 다포체 오일러 지표 도 성립합니다.

부피는 어떻게 되나

3차원 정육면체 8개로 이루어진 달리(Dalí)의 십자가 전개도를 4차원 공간에서 접어 올린다

단위공의 부피 —차원 —정육면체는 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

차원 d — 1

견줄 자리 db — 16

3차원 공간에서는 아무리 접어도 정육면체들이 부딪혀 상자가 안 닫히는데, 그런데 4차원 축 방향으로 회전시켜 접는 순간 8개 정육면체가 빈틈없이 1개의 테서랙트로 닫힌다
3차원 십자가 블록을 4차원 손길로 접으면 4차원 상자로 딱 접힌다

대학 — 어디까지 가나

고차원 기하

고차원 기하학은 아인슈타인의 4차원 시공간 상대성 이론의 수학적 기초이며, 힐베르트 공간과 같은 무한차원 함수 공간 이론으로 확장됩니다.

현대 기계학습과 빅데이터 분석에서 수천, 수만 개의 특성(Feature)을 다루는 고차원 데이터 공간에서는 차원의 저주(Curse of Dimensionality)와 고차원 구의 부피 집중 현상 등 테서랙트 기하학의 직관이 핵심 분석 도구로 사용됩니다.

그림자로 보세요

n차원 단위 초입방체 꼭짓점들에 반지름 1/2인 구 2^n개를 채우고 한가운데 끼인 중심 구의 반지름 r_n = √n - 1 슬라이더를 올린다

보이는 모서리 —회전각 —꼭짓점 —

회전각 — 45°

3차원에서는 중심 구가 바깥 상자 안에 얌전히 갇혀 있는데, 그런데 10차원(r = √10 - 1 ≈ 2.16 > 1)이 되는 순간 중심 구가 바깥 상자 벽을 뚫고 우주 밖으로 삐져나간다
구슬들 틈새에 끼워둔 작은 구슬이 차원을 올렸더니 바깥 상자 벽을 뚫고 밖으로 튀어나온다

풀어 보기

중학교 · 고등학교 수준 · 답은 검산을 마쳤습니다

초입방체의 꼭짓점과 모서리. 차원 초입방체의 꼭짓점 개수는 개, 모서리 개수는 개이다.

(1) 4차원 초입방체(테서랙트)의 꼭짓점 개수와 모서리 개수를 각각 구하시오.
(2) 4차원 초입방체를 둘러싸고 있는 3차원 정육면체(입체 면)의 개수를 구하시오.
(3) 5차원 초입방체의 꼭짓점 개수와 모서리 개수를 각각 구하시오.

(3) n=5 대입: 꼭짓점 2⁵ = 32개, 모서리 5 × 2⁴ = 80개가 됩니다.

답과 풀이 보기

(1) 꼭짓점 개, 모서리 개

(2) 8 개입니다.
정육면체가 정사각형 6 개로 둘러싸이듯, 테서랙트는 정육면체 8 개로 둘러싸입니다. 차원이 하나 오를 때마다 「앞뒤로 하나씩」이 붙는 셈입니다.

(3) 꼭짓점 개, 모서리 개

우리는 4 차원을 볼 수 없지만 셀 수는 있습니다. 그림자를 보듯 3 차원에 비추어 그린 것이 이 장의 그림입니다. 우리 눈이 3 차원까지만 담도록 만들어져 있기 때문에 세는 것으로 보는 것을 대신합니다.

여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.

중1-2 04 다면체와 회전체

만지는 수학으로 손에 쥐어 보기

이 장과 이어지는 「만지는 수학」 칼럼입니다. 손끝으로 직접 끌고 눌러 보며 같은 생각을 몸으로 겪을 수 있습니다.

공간과입체초6 직육면체초5

더 멀리

차원을 늘려 생각하는 것은 실제 도구입니다.

자료 분석 — 특성이 열 개면 10차원 공간의 점으로 다룹니다
기계 학습 — 수천 차원 공간에서 거리를 재고 나눕니다
전개도 만들기 — 정육면체 전개도가 11가지인 것처럼, 4차원 것도 세어 볼 수 있습니다

이어지는 장

점, 선, 정사각형, 정육면체로 차원을 하나씩 올리며 꼭짓점과 모서리의 개수를 확장하는 원리는, 3차원 다면체의 꼭짓점·모서리·면을 연결하는 오일러의 공식이 고차원에서도 변함없이 성립함을 보여줍니다 — 제59장에서 차원을 넘나드는 기하학적 불변량을 발견해 보세요.

이어지는 자료

초5 · 직육면체 — 늘려라! 상자 대장만지는수학 초5 직육면체 단원살아있는수학교과서

영감을 받은 곳

루트비히 슐레플리(Ludwig Schläfli)가 1852년 저술한 『연속체 이론』(Theorie der vielfachen Kontinuität)에서 4차원 정다포체를 분류하고 4차원 초입방체(테서랙트)의 기하학적 성질을 규명한 기록에서 왔습니다.