칸토어 집합
선분의 가운데를 계속 파내 보세요
길이 1인 선분을 3등분하여 가운데 3분의 1 토막을 싹둑 지웁니다. 남은 두 토막의 가운데를 또 3등분해 지웁니다. 이 과정을 무한히 되풀이합니다.
지워버린 길이를 다 더하면 정확히 원래 길이 1 전체가 되어 남은 길이가 0입니다. 길이가 0으로 다 사라졌는데 어떻게 선분 안의 점들은 처음과 똑같이 무한히 남아 있을까요?
이야기
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그런데 이 집합을 처음 적은 사람은 칸토어가 아닙니다. 1874년 옥스퍼드의 헨리 스미스가 이미 같은 것을 만들어 글로 냈습니다. 칸토어가 쓴 것은 그보다 아홉 해 뒤인 1883년입니다.
스미스는 아일랜드에서 태어나 옥스퍼드 기하학 석좌교수가 된 사람입니다. 그의 글은 널리 읽히지 못했고, 이름은 칸토어에게 갔습니다.
남은 길이를 세어 보면 한 번에 3분의 2만 남습니다. 되풀이하면 0으로 갑니다. 길이가 없습니다. 그런데 남은 점은 실수 전체만큼 많습니다.
까닭은 3진법으로 적어 보면 훤합니다. 가운데 토막을 지운다는 것은 3진법에서 숫자 1을 쓰는 수를 지운다는 뜻입니다. 남는 것은 0과 2만으로 적히는 수들입니다.
그런데 0과 2를 0과 1로 바꿔 읽으면 그것이 곧 2진법으로 적은 0과 1 사이의 모든 수가 됩니다. 그래서 남은 점의 개수가 처음 선분의 점 개수와 똑같습니다. 길이는 전부 잃었는데 점은 하나도 안 잃은 것입니다.
그는 아일랜드에서 태어나 옥스퍼드의 기하학 석좌교수가 된 사람입니다. 당대에는 정수론으로 이름이 높았지만, 이 「먼지」를 만든 글은 널리 읽히지 못했습니다. 좋은 결과를 먼저 냈어도 읽히지 않으면 이름이 남지 않습니다.
통신 회선의 잡음이 이 모양으로 몰려 옵니다. 만델브로가 전화선 오류를 분석하다 칸토어 집합과 같은 구조임을 찾았습니다.
그 발견이 오류 정정 부호의 설계를 바꾸었고, 지금 인터넷 통신에 쓰입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
선분 가운데를 계속 지운다
길이 1인 종이테이프에서 가운데 1/3을 가위로 잘라 버립니다. 남은 양쪽 조각에서도 가운데 1/3씩을 자릅니다.
버린 길이를 계산하면 1/3 + 2/9 + 4/27... 더할수록 1에 다가갑니다. 남은 선분의 길이는 0이 되지만, 0과 1, 1/3, 2/3 같은 양 끝점과 수많은 먼지 같은 점들은 끝까지 살아남아 종이 위에 반짝입니다.
가운데 삼분의 일을 지워 보세요
「길이 0 인데 셀 수 없이 많다」 — 이것이 칸토어 집합입니다.
남는 길이 셈하기
지운 구간의 총 길이를 등비급수로 더해 봅니다. 입니다. 전체 길이 1이 통째로 빠져나갔습니다.
하지만 남아 있는 점들을 3진법 소수로 적어 보면 놀라운 비밀이 드러납니다. 3진법으로 나타냈을 때 숫자 '1'을 쓰지 않고 0과 2로만 적히는 모든 점이 그대로 남아 있습니다.
차원을 재 보세요
차원이 1 보다 작으니 길이가 0 인 것이 당연합니다.
⭐ 잘게 나눌수록 차원이 1 에 가까워집니다 — 덜 지우니까요.
3진법으로 보기
칸토어 집합의 점들은 3진법으로 ()로 유일하게 표현됩니다. 숫자 2를 1로 바꾸면 사이의 모든 2진법 실수와 1대1 대응을 이룹니다.
따라서 칸토어 집합의 원소 개수는 자연수의 무한(가산)을 넘어 원래 선분 전체의 점 개수와 똑같은 비가산 무한()입니다.
3 진수로 보세요
각 자리에 0 이나 2 둘 중 하나 — 그래서 2 진수만큼 많습니다.
측도 0 · 비가산
칸토어 집합은 르베그 측도(Lebesgue measure)가 0이면서 비가산 농도를 갖는 완비 조밀 무핵(Perfect nowhere dense) 집합입니다. 하우스도르프 차원은 인 최초의 프랙탈입니다.
칸토어 계단 함수(Cantor function)는 거의 모든 곳에서 미분계수가 0이면서 0에서 1로 연속적으로 상승하는 '특이 연속 함수'의 반례로 현대 실해석학의 기틀을 닦았습니다.
악마의 계단
「악마의 계단」 — 미적분의 상식을 깨뜨리는 함수입니다.
풀어 보기
칸토어 집합의 길이와 점의 개수. 구간 에서 가운데 3분의 1을 반복 제거하여 칸토어 집합을 만든다.
(1) 1단계에서 제거된 길이 , 2단계에서 제거된 길이 일 때, 단계에서 새로 제거되는 총 길이 을 구하시오.
(2) 무한 단계까지 제거된 모든 구간의 길이의 총합 을 등비급수 공식으로 구하시오.
(3) 칸토어 집합의 르베그 측도(남은 길이)와 원소의 개수(농도)를 각각 쓰시오.
(2) , (3) 길이는 0 이고 점의 개수는 비가산 무한입니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
단계에서는 길이 짜리 구간을 개 지웁니다.
확인 :
(2) 1 입니다.
첫째항 · 공비 인 무한등비급수이므로
⭐ 원래 구간의 길이가 딱 1 이었습니다. 곧 전부 다 지웠습니다.
(3) 길이(르베그 측도)는 0, 점의 개수는 비가산 무한입니다.
· 남은 길이 =
· 그런데 남은 점은 실수 전체만큼 많습니다 ()
⭐ 3 진법으로 보면 뚜렷합니다 — 칸토어 집합은 0 과 2 만으로 쓰인 3 진 소수들입니다. 그 0 과 2 를 0 과 1 로 읽으면 2 진법 실수 전체가 됩니다.
길이가 0 인데 점은 실수만큼 많습니다. 양 끝점만 남는 줄 알기 쉽지만, 처럼 지워진 적 없는 안쪽 점도 수없이 남습니다.
1883 년 칸토어가 만들었을 때, 이런 것은 병적인 괴물이라 불렸습니다. 지금은 프랙탈이라 부르고, 통신 잡음과 카오스의 언어가 되었습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「크기」에 여러 뜻이 있다는 것을 보여 줍니다.
- 측도 — 길이·넓이를 엄밀히 다루는 이론이 여기서 자랐습니다
- 프랙탈 차원 — 칸토어 집합의 차원은 약 0.63입니다. 정수가 아닙니다
- 직접 그리기 — 종이띠에 다섯 번만 해 봐도 먼지처럼 흩어집니다
이어지는 장
선분의 가운데 3분의 1을 끝없이 덜어내는 칸토어 집합의 원리는, 정삼각형의 가운데를 계속 파내어 둘레는 무한하지만 면적은 0이 되는 프랙탈 도형과 정확히 같은 뼈대를 이룹니다 — 제85장 에서 2차원으로 펼쳐진 칸토어의 생각을 만나보세요.
영감을 받은 곳
게오르크 칸토어(Georg Cantor)가 1883년 《수학연보》(Mathematische Annalen)에 발표한 연속체 가설 논문 「Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten」 제5편에서 도입되었습니다.