아르키메데스의 묘비
물을 채워 보면 압니다
원기둥 모양의 투명한 통에 꼭 맞는 둥근 공을 넣고 물을 가득 채웁니다. 이제 공을 조심스럽게 꺼내 보세요.
통에 남은 물의 높이를 재면 정확히 전체 높이의 3분의 1입니다. 왜 뚜껑과 바닥까지 합쳐도 겉넓이와 부피가 똑같이 2대 3일까요?
이야기
Domenico Fetti
Public domain · 위키미디어 공용
시칠리아의 도시 시라쿠사가 로마군에게 무너진 것은 기원전 212년입니다. 그때 한 노인이 땅에 도형을 그리고 있었습니다. 병사가 다가오자 노인은 “내 원을 밟지 마시오”라고 했다고 전해집니다. 그가 아르키메데스입니다.
그는 자기 무덤에 구와 원기둥을 새겨 달라고 했습니다. 금관도, 지렛대도, 전쟁 기계도 아니었습니다. 그가 평생 가장 자랑스러워한 것은 이것이었습니다 — 공을 딱 맞게 담는 통이 있을 때, 공의 부피는 통의 다.
겉넓이도 그렇습니다. 옆면만이 아니라 뚜껑과 바닥까지 더한 통 전체와 견주어도 공은 정확히 입니다. 부피도 , 겉넓이도 — 그래서 그는 이 사실에 반했습니다.
백오십 해쯤 지나 로마의 정치가 키케로가 시라쿠사에 갔습니다. 그는 잡초에 묻힌 무덤 하나를 찾아냈습니다. 돌에 구와 원기둥이 새겨져 있었습니다. 아무도 그것이 누구의 무덤인지 모르고 있었습니다.
🚩 그런데 그 묘비는 곧 잊혔습니다. 백오십 년 뒤 시라쿠사를 찾은 로마의 재무관 키케로가 덤불을 헤치다 가시나무에 파묻힌 돌기둥을 발견합니다. 위에 구와 원기둥이 새겨져 있었습니다. 「그리스에서 가장 이름난 도시가 자기네 가장 뛰어난 시민의 무덤조차 모르고 있었다」고 그는 적었습니다. 수학자의 무덤을 찾아 준 사람이 정치가였던 것입니다.
부피를 재는 법의 뿌리입니다. 아르키메데스가 쓴 「얇게 썰어 더한다」는 생각이 그대로 적분이 되었고, 지금 비행기 날개의 부피, 댐에 담기는 물의 양, 사람 몸속 장기의 크기를 모두 그 방법으로 잽니다.
CT·MRI가 몸을 얇게 썰어 찍는 것도 같은 발상입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
공과 통에 물을 부어 견줘 본다
지름과 높이가 같은 원기둥 통과 그 안에 쏙 들어가는 구를 준비합니다. 통에 물을 채운 뒤 구를 넣으면 물이 넘쳐흘러 나옵니다.
구를 건져내고 남은 물을 보면 원기둥의 딱 3분의 1만 남아 있습니다. 즉 공의 부피는 원기둥 부피의 3분의 2를 차지합니다. 눈으로 직접 물의 높이를 견주어 보면 누구나 단번에 이해할 수 있습니다.
물을 채우고, 공을 넣었다가, 다시 꺼내 보세요
없어진 3분의 2가 곧 공의 부피입니다. 통을 크게 해도 작게 해도 늘 그렇습니다 — 다음 계단에서 확인해 보세요.
부피 공식으로 확인
반지름이 인 구의 부피는 이고, 꼭 맞는 원기둥은 밑면 반지름이 , 높이가 입니다.
원기둥의 부피는 입니다. 둘의 비를 계산하면 이 됩니다. 겉넓이도 구는 , 원기둥 전체는 로 정확히 2대 3입니다.
반지름을 바꿔도 비는 그대로일까요
r 을 어떻게 밀어도 두 비가 꿈쩍하지 않습니다. 아르키메데스가 묘비에 새겨 달라고 한 것이 이것입니다.
카발리에리 원리로 증명
반지름 인 반구와, 반지름 ·높이 인 원기둥에서 원뿔을 파낸 입체를 높이 에서 수평으로 자릅니다.
반구의 단면 넓이는 이고, 파낸 원기둥의 단면 넓이도 로 모든 높이에서 항상 같습니다. 카발리에리 원리에 의해 두 입체의 부피가 같으므로 구의 부피 공식이 완벽하게 증명됩니다.
같은 높이에서 잘라 두 단면을 견줘 보세요
반구 단면은 , 도넛 단면은 — 같은 식입니다.
단면이 늘 같으면 부피도 같습니다(카발리에리). 그래서 .
적분으로 구하기
구의 부피는 회전체 적분 으로 엄밀하게 셈해집니다. 이를 차원 유클리드 공간으로 일반화하면 이 됩니다.
아르키메데스가 고안한 실진법(Method of Exhaustion)과 기계적 평형 정리(The Method)는 근대 미적분학의 적분 개념과 리만 합의 완벽한 역사적 원형입니다.
얇은 원판을 쌓아 반구를 재 보세요
이 「쌓아서 잰다」가 곧 적분입니다 — .
아르키메데스는 적분이 생기기 1,800년 전에 이 답을 알아냈습니다.
풀어 보기
구와 원기둥의 부피와 겉넓이. 반지름의 길이가 인 구와, 이 구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥이 있다.
(1) 구의 부피 와 겉넓이 를 구하시오.
(2) 원기둥의 부피 과 전체 겉넓이 을 구하시오.
(3) 과 의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.
부피 비와 겉넓이 비가 둘 다 정확히 2 : 3 으로 일치합니다.
답과 풀이 보기
(1) ,
(2) 꼭 맞게 들어가므로 원기둥의 밑면 반지름은 3, 높이는 지름 6입니다.
전체 겉넓이는 옆면 에 위아래 두 밑면 를 더해 입니다.
(3)
부피와 겉넓이가 둘 다 2 : 3 입니다. 아르키메데스가 자기 묘비에 새겨 달라 한 것이 이것입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
“딱 맞게 담았을 때의 비”는 오늘도 곳곳에 있습니다.
- 포장 — 공 모양 물건을 상자에 담으면 반드시 빈틈이 생깁니다. 그 빈틈의 비율이 값과 무게를 정합니다
- 물탱크와 압력용기 — 같은 부피를 담을 때 겉넓이가 가장 작은 것이 공입니다. 재료가 덜 들고 열도 덜 빠집니다
- 비눗방울 — 저절로 공이 되는 까닭이 그것입니다. 표면이 스스로 가장 작아지려 합니다
이어지는 장
아르키메데스가 고된 계산으로 밝혀낸 구와 원기둥의 2:3 부피 비는, 단면을 얇게 썰어 비교하는 기발한 생각으로 훨씬 쉽게 증명됩니다 — 제23장에서 그 비밀을 풀어보세요.
영감을 받은 곳
기원전 225년경 아르키메데스가 저술한 논문 『구와 원기둥에 관하여』(On the Sphere and Cylinder) 제1권의 명제에서 왔습니다. 묘비에 구와 원기둥을 새겨 달라고 유언을 남겼습니다.