도박사의 오류
앞면이 열 번 연속 나왔다면
동전을 던져 앞면이 연속으로 다섯 번 나왔습니다. 이제 여섯 번째 동전을 던지려고 합니다.
숨을 죽이고 지켜보던 친구가 외칩니다. “이제 뒷면이 나올 때가 됐어!” 과연 이번에 뒷면이 나올 확률은 정말로 절반(50%)보다 더 높아졌을까요?
이야기
동전을 던졌는데 앞면이 열 번 연속 나왔습니다. 다음은 뒷면이 나올 차례일까요?
아닙니다. 여전히 반반입니다. 동전은 앞의 열 번을 기억하지 못합니다.
이 착각을 도박사의 오류라 합니다. 1913년 몬테카를로 카지노에서 룰렛 구슬이 스물여섯 번 연속 검은색에 떨어진 일이 있었습니다. 사람들은 이제 빨강이 나올 차례라며 돈을 걸었고, 큰돈을 잃었습니다.
헷갈리기 쉬운 대목이 있습니다. “많이 던지면 반반에 가까워진다”는 말은 참입니다. 그런데 그것이 “뒤처진 쪽이 따라잡는다”는 뜻은 아닙니다.
앞면이 열 번 더 나온 상태에서 만 번을 더 던지면, 비율은 반반에 가까워집니다. 그러나 개수 차이 열 개는 메워지지 않습니다. 그냥 전체 수가 커져서 열 개가 하찮아질 뿐입니다.
따라잡는 것이 아니라 묻히는 것입니다.
이 착각이 사라지지 않는 까닭은 사람이 「균형」을 믿기 때문입니다. 동전은 앞에 무엇이 나왔는지 기억하지 못합니다. 다음 한 번의 확률은 언제나 정확히 절반입니다.
1913년 몬테카를로의 한 룰렛 탁자에서 검정이 스물여섯 번 내리 나왔습니다. 사람들은 「이제는 빨강」이라며 몰려들어 큰돈을 잃었습니다. 그날 이후 이 착각에 그 도시의 이름이 붙었습니다.
사람이 가장 자주 저지르는 확률 착각입니다. 동전은 앞이 열 번 나와도 다음에 뒤가 나올 확률이 여전히 절반입니다.
주식·복권·스포츠 도박에서 큰 손실이 여기서 나오고, 「이번엔 오를 때가 됐다」는 생각이 늘 이 오류입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
동전으로 확인해 본다
동전은 뇌도 없고 기억력도 없습니다. 자기가 방금 전에 앞면으로 떨어졌는지 뒷면으로 떨어졌는지 전혀 알지 못합니다.
앞면이 백 번 연속으로 나왔더라도, 백한 번째 던지는 동전이 앞면이 나올 확률은 여전히 변함없이 정확히 2분의 1입니다. 이전 결과가 다음 결과에 영향을 주지 않는다는 것을 마음에 새겨 보세요.
앞면이 몇 번 나와도 다음은 반반
「k 번 이어 날 확률」은 작지만, 「k 번 났으니 다음은」은 여전히 반반입니다.
독립의 뜻
사람들은 '앞면과 뒷면이 반반씩 나와야 균형이 맞는다'는 직관 때문에 앞면이 많이 나오면 뒷면이 나와서 메꿔줄 것이라 착각합니다. 이것이 바로 도박사의 오류(Gambler's fallacy)입니다.
확률론에서 두 사건 가 독립(Independent)이면 조건부확률은 가 되어 이전 사건 의 발생 여부와 완전히 무관합니다.
두 물음은 다릅니다
도박사의 오류는 이 둘을 섞는 데서 옵니다.
조건부확률로 따지기
동전을 많이 던질수록 앞면의 비율이 50%로 수렴하는 것은 맞지만, 앞면과 뒷면의 개수 차이가 0으로 줄어드는 것은 아닙니다.
오히려 던진 횟수 이 커질수록 앞면과 뒷면의 절대적 개수 차이의 기댓값은 스케일로 점점 더 벌어집니다. 비율의 희석(Dilution)과 개수의 상쇄(Self-correction)를 혼동한 데서 오류가 발생합니다.
언제 돌아오나
10 으로 20 을 만들 확률은 50%, 10 으로 100 을 만들 확률은 10%.
마르코프 성질
확률과정론(Stochastic processes)에서 미래의 상태가 과거의 이력과 무관하게 오직 현재 상태에 의해서만 결정되는 성질을 마르코프 성질(Markov property) 또는 무기억성(Memoryless property)이라 합니다.
연속시간에서는 지수분포, 이산시간에서는 기하분포가 유일하게 무기억성을 지닙니다. 도박사의 오류를 극복하는 것은 통계적 가설검정 및 베이지안 의사결정론의 핵심 출발점입니다.
아주 조금만 불리해도
겨우 1% 불리한데 50% 가 12% 로 — 이것이 카지노가 이기는 방법입니다.
풀어 보기
독립시행과 확률의 계산. 공정한 동전을 던지는 시행에 대하여 답하시오.
(1) 공정한 동전을 5번 던져 5번 모두 앞면이 나올 확률을 구하시오.
(2) 5번 연속 앞면이 나온 상태에서, 6번째 던졌을 때 앞면이 나올 조건부확률을 구하시오.
(3) '동전을 1000번 던졌을 때 앞면이 600번 나왔다면, 다음 1000번에서는 뒷면이 더 많이 나올 것이다'라는 주장이 왜 틀렸는지 큰 수의 법칙의 관점에서 설명하시오.
(2) 는 동전 던지기가 독립시행이라는 점을 상기하세요.
답과 풀이 보기
(1) (약 3.1%) 입니다.
다섯 번 모두 앞면인 것은 32 가지 가운데 한 가지뿐입니다.
(2) 입니다.
동전 던지기는 독립시행이라 앞의 결과가 뒤에 아무 영향을 주지 않습니다.
⭐ 헷갈리기 쉬운 자리 — 여섯 번 모두 앞면일 확률은 로 작지만, 다섯 번이 이미 나온 뒤의 여섯 번째는 그냥 입니다. 언제 묻느냐가 다릅니다.
(3) 큰 수의 법칙은 비율이 에 가까워진다는 말이지, 모자란 만큼 갚아 준다는 말이 아닙니다.
다음 1000 번의 앞면 기댓값은 그냥 500 이므로, 2000 번 전체로는 — 60% 에서 55% 로 가까워졌습니다.
그런데 넘친 100 번은 그대로 남아 있습니다. 갚아서가 아니라 뒤에 붙는 수가 커져 묽어졌을 뿐입니다.
⛔ 동전에는 기억이 없습니다. 이 착각을 도박사의 오류라 합니다.
1913 년 몬테카를로의 룰렛에서 검정이 26 번 연달아 나왔습니다. 사람들은 이제 빨강이 나올 차례라며 빨강에 걸었고, 수백만 프랑을 잃었습니다.
구슬은 앞의 26 번을 단 한 번도 본 적이 없습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
확률에 대한 착각은 값비쌉니다.
- 도박과 복권 — 「이번엔 나올 때가 됐다」는 생각이 손실을 키웁니다
- 뜨거운 손 착각 — 잘하고 있으니 계속 잘할 것이라는 반대 방향 착각도 있습니다
- 직접 해 보기 — 동전을 백 번 던져 기록해 보세요. 대여섯 번 연속은 자주 나옵니다
이어지는 장
시행 횟수가 무한히 늘어나면 평균에 수렴한다는 큰 수의 법칙을, 매 순간 독립적인 동전 던지기에 잘못 끌어다 붙이면 도박사의 오류가 됩니다 — 제96장 과 함께 읽어야 착각의 함정에서 벗어날 수 있습니다.
영감을 받은 곳
피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)가 1814년 『확률에 관한 철학적 시론(Essai philosophique sur les probabilités)』에서 독립시행의 본질과 인간 심리의 착각을 규명한 분석에서 왔습니다.