바젤 문제
제곱수의 역수가 만든 원주율
처럼 모든 자연수 제곱의 역수들을 끝없이 더해 보세요. 숫자들이 빠르게 작아지며 약 1.6449라는 값으로 수렴합니다.
수많은 대수학자들이 90년 동안 이 정확한 합을 찾지 못해 헤맸습니다. 자연수들의 거듭제곱 덧셈에서 난데없이 원의 비율인 파이 제곱(π²)이 튀어나온 까닭은 무엇일까요?
이야기
Jakob Emanuel Handmann
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제곱의 역수를 모두 더하면 얼마가 될까요?
앞에서 본 조화급수와 달리 이번엔 어딘가에서 멈춥니다. 더해 보면 1.6쯤에서 좀처럼 늘지 않습니다.
그런데 정확히 얼마인가가 문제였습니다. 1650년에 제기된 뒤 구십 년 동안 당대 최고의 수학자들이 모두 실패했습니다.
1735년, 스물여덟 살의 레온하르트 오일러가 답을 냈습니다.
어디에도 원이 없는데 π 가 나왔습니다. 값은 1.6449… 입니다.
오일러의 방법은 대담했습니다. 를 무한히 많은 인수의 곱으로 쓸 수 있다고 보고 계수를 맞춘 것입니다. 당시 기준으로는 엄밀하지 않았지만 답은 맞았습니다. 엄밀한 증명은 나중에 붙었습니다.
이 문제를 낸 도시의 이름을 따 바젤 문제라 합니다. 오일러의 고향이기도 합니다.
오일러가 이 값을 얻은 까닭은 그가 대담했기 때문입니다. 그는 sin x를 다항식처럼 취급해 근을 죽 늘어놓고 인수분해했습니다. 무한히 긴 식에 유한한 식의 규칙을 쓴 것입니다.
당시 기준으로도 엄밀하지 않았습니다. 그런데 답은 맞았습니다. 이것이 정당한 계산이라는 것이 밝혀진 것은 백 년쯤 뒤입니다. 옳은 답이 먼저 오고 그 답을 떠받칠 논리가 나중에 온 셈입니다.
이 합에서 제타 함수가 나왔고, 그것이 소수의 분포와 이어졌습니다.
제타 함수는 물리학에도 나타납니다 — 진공의 에너지를 계산하는 카시미르 효과에서 발산하는 합을 다룰 때 쓰입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
1, 4분의 1, 9분의 1 을 더해 본다
1 더하기 4분의 1, 9분의 1, 16분의 1을 계산기로 차례로 더해 봅니다. 1.25, 1.36, 1.42… 숫자가 조금씩 불어나지만 2를 결코 넘지 못합니다.
정사각형들의 역수를 끝없이 더했을 때 정확히 어떤 값에 도달하는지 알아내는 문제는 당대 최고의 수학자들도 풀지 못한 신비한 수수께끼였습니다.
제곱의 역수를 더해 보세요
1/n² 가 훨씬 빨리 작아지기 때문입니다 — 넓이로 재면 유한합니다.
⭐ s 를 1.1 로 내려 보세요 — 같은 항 수인데 훨씬 커집니다. s = 1 이면 영영 안 멈춥니다.
오일러가 1734년에 낸 답
28세의 청년 레온하르트 오일러가 1734년 이 수수께끼를 완벽하게 풀어냈습니다. 그 값은 정확히 이었습니다.
원이나 곡선이라곤 전혀 보이지 않는 정수들의 분수 덧셈에서 원주율 가 나타났다는 사실은 전 유럽을 경악에 빠뜨렸습니다. 대수학과 기하학이 보이지 않는 깊은 끈으로 연결되어 있음을 보여 준 기적이었습니다.
어디에서 멈추나
50 항이면 0.0198, 5000 항이면 0.0002 — 예측할 수 있는 느림입니다.
수치로 다가가 보기
오일러의 증명 아이디어는 함수 를 다항식처럼 무한 곱으로 인수분해하는 대담한 발상이었습니다. 의 해가 이므로 다음과 같이 전개됩니다.
. 테일러 전개 와 의 계수를 비교하면 이 되어 이 유도됩니다.
π 를 되찾아 보세요
원과 아무 상관 없어 보이는데 원의 수가 나옵니다 — 오일러가 1735년에 풀었습니다.
오일러의 증명·제타 함수
바젤 문제는 리만 제타 함수 에서 짝수 정수점 의 값을 베르누이 수와 로 명시적으로 계산하는 일반화 이론의 효시입니다.
푸리에 급수(Fourier Series)와 복소해석학의 유수 정리(Residue Theorem)로 엄밀하게 재증명되며, 양자역학의 흑체 복사 플랑크 법칙 및 통계물리학의 보스-아인슈타인 응축 적분 계산에 핵심 상수로 쓰입니다.
지수를 바꿔 보세요
ζ(3) 은 무리수라는 것만 알고, 그 값이 무엇인지는 아무도 모릅니다.
풀어 보기
바젤 문제와 제타 함수. 다음 물음에 답하시오.
(1) 바젤 문제의 극한값 의 정확한 값을 를 써서 나타내시오.
(2) 임을 이용하여 짝수 제곱수의 역수들의 합 의 값을 구하시오.
(3) (1)과 (2)의 결과를 이용하여 홀수 제곱수의 역수들의 합 의 값을 계산하시오.
(2) 입니다. (3) 전체에서 짝수 합을 빼면 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
⭐ 원이 어디에도 없는데 가 나옵니다. 이것이 이 문제가 유명한 까닭입니다.
(2) 입니다.
짝수는 꼴이므로 통째로 을 묶어낼 수 있습니다.
(3) 입니다.
전체에서 짝수 몫을 빼면 홀수 몫입니다.
확인 : — 맞습니다.
⭐ 홀수 몫이 전체의 4 분의 3 입니다. 홀수가 절반인데 앞쪽 항이 크기 때문입니다.
1650 년에 나온 이 문제를 90 년 동안 아무도 못 풀었습니다. 야코프 베르누이는 「푸는 사람에게 감사하겠다」고 공개적으로 부탁했습니다.
1735 년 스물여덟 살 오일러가 풀었습니다. 를 무한히 많은 일차식의 곱으로 쪼개는, 당시로는 근거가 위태로운 방법이었지만 답은 정확했습니다.
이 급수를 로 넓힌 것이 리만 제타 함수이고, 그 영점 이야기가 지금 수학 최대의 미해결 문제입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
이 합에서 수론의 큰 길이 열렸습니다.
- 제타 함수 — 는 그 함수의 한 값일 뿐입니다
- 홀수 제곱 — 은 아직 간단한 꼴이 알려져 있지 않습니다
- 소수와의 연결 — 오일러가 이 함수를 소수의 곱으로 다시 썼습니다
이어지는 장
자연수 제곱의 역수들을 한없이 더해 나갔을 뿐인데 원의 둘레를 재던 원주율 파이가 불쑥 나타납니다 — 제13장 에서 도형으로 재던 가 수론과 무한급수의 중심으로 당당히 걸어 들어옵니다.
이어지는 자료
영감을 받은 곳
피에트로 멩골리(Pietro Mengoli)가 1650년에 제시하고, 1735년 28세의 레온하르트 오일러가 상트페테르부르크 학술원에 제출한 논문 「수열의 역수 합에 관하여」에서 해결했습니다.