바리뇽의 평행사변형

종이에 아무렇게나 생긴 사각형을 그립니다. 네 변을 자로 재어 한가운데에 점을 찍고, 그 네 점을 이어 봅니다.

이제 속사각형의 마주 보는 두 변을 재어 보세요. 길이가 같습니다. 다른 두 변도 같습니다. 그것이 평행사변형입니다.

더 재미있는 것 — 바깥 사각형에서 속사각형을 빼면 네 귀퉁이 삼각형이 남습니다. 그것을 오려서 속사각형 위에 얹어 보세요. 꼭 맞게 덮입니다. 그래서 넓이가 절반입니다.

위 그림의 점선이 답입니다. 대각선 를 하나 그으세요. 사각형이 삼각형 둘로 갈립니다.

삼각형 에서 와 는 두 변의 중점이므로 중점연결정리에 의해 는 와 나란하고 길이는 그 절반입니다.

삼각형 에서도 똑같이 가 와 나란하고 절반입니다.

그러면 와 는 둘 다 와 나란하고 둘 다 그 절반입니다. 곧 서로 나란하고 길이가 같습니다 — 평행사변형입니다.

여기서 ABCD 가 어떻게 생겼는지는 한 번도 쓰지 않았습니다. 그래서 오목해도, 변이 지나가도 성립합니다.

속사각형의 두 변은 각각 대각선 , 와 나란하고 길이는 절반입니다. 그러니 속사각형의 꼴은 바깥 대각선 둘이 정합니다.

• 두 대각선의 길이가 같으면 → 속변 둘이 같아져 마름모
• 두 대각선이 수직이면 → 속변 둘이 수직이라 직사각형
• 둘 다이면 → 정사각형

넓이도 나옵니다. 두 대각선의 길이를 , 이루는 각을 라 하면 속사각형의 두 변은 이고 낀 각이 이므로

그리고 사각형 의 넓이는 이므로, 속은 정확히 절반입니다.

위치벡터로 쓰면 증명이 한 줄입니다. 라 두면

두 벡터가 같으므로 는 평행사변형입니다. 끝입니다.

이 한 줄에는 차원이 어디에도 없습니다. 그래서 네 점이 한 평면 위에 있지 않아도 — 공중에 제멋대로 흩어져 있어도 — 네 중점은 반드시 한 평면 위의 평행사변형을 이룹니다. 3차원이든 100차원이든 같습니다.

이것이 「망가짐이 어디로 갔나」의 답입니다. 중점을 잡는 일은 선형이고, 선형인 것은 비틀림을 통과시키지 않습니다. 바리뇽이 힘을 더할 때 쓴 것도 같은 성질이었습니다.