완벽한 투표는 없다
셋이 모여 투표해 보세요
친구 세 명이 자장면(A), 짬뽕(B), 볶음밥(C) 중 점심 메뉴를 고릅니다. 1번은 A>B>C, 2번은 B>C>A, 3번은 C>A>B 순으로 좋아합니다.
다수결로 둘씩 붙여 보면 A가 B를 이기고, B가 C를 이기는데, 다시 C가 A를 이겨 버립니다. 모두가 만족하는 공정한 투표 방식은 왜 세상에 존재할 수 없을까요?
이야기
Linda A. Cicero / Stanford News Service
CC BY 3.0 · 위키미디어 공용
이 돌고 도는 현상을 처음 적은 사람은 1785년 프랑스의 콩도르세 후작입니다. 그는 수학자이자 혁명기의 정치가였고, 「투표를 수학으로 다룰 수 있다」고 믿은 사람이었습니다. 그러나 혁명의 소용돌이에 휘말려 감옥에서 죽습니다.
1951년, 서른 살의 케네스 애로가 훨씬 더 무거운 결론을 냅니다. 「이런 일이 가끔 생긴다」가 아니라 「어떤 투표 방식으로도 피할 수 없다」는 것이었습니다. 그는 이 연구로 뒷날 노벨상을 받습니다.
그가 요구한 조건은 상식적인 것 셋뿐이었습니다. ① 모두가 A를 B보다 좋아하면 결과도 그래야 한다. ② A와 B의 순위는 C가 있든 없든 흔들리지 않아야 한다. ③ 혼자 결정하는 사람이 없어야 한다.
이 셋을 다 만족하는 방법은 없습니다. 셋을 지키려 하면 반드시 돌고 도는 순위가 생기고, 그것을 막으려 하면 셋 가운데 하나를 포기해야 하기 때문입니다.
🚩 그러니 이것은 「좋은 투표 제도를 아직 못 찾았다」가 아닙니다. 찾을 수 없다는 것입니다. 우리가 쓰는 모든 방식은 셋 가운데 무엇을 포기할지 고른 결과입니다.
완벽한 선거 제도는 없습니다. 결선투표·순위투표·단순다수제가 저마다 무언가를 포기합니다.
선거 제도 개편 논의, 스포츠 랭킹, 검색 결과 정렬, 상품 추천 순위에서 이 한계가 그대로 나타납니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
셋이 좋아하는 순서를 적어 보기
세 친구가 각자 좋아하는 음식 순위를 적어 냅니다. A와 B를 투표하면 2명이 A를 골라 A가 이깁니다. B와 C를 투표하면 B가 2표로 이깁니다.
그렇다면 당연히 A가 C도 이겨야 할 것 같지만, A와 C를 투표에 부치면 C가 2표를 얻어 승리합니다. 가위바위보처럼 꼬리를 물고 돌아 1등을 뽑을 수 없는 기묘한 일이 일어납니다.
투표 방법을 바꿔 보세요
「민심」이란 것이 정말 하나로 정해지나요?
⭐ 같은 지지율인데 방법에 따라 이기고 집니다.
다수결이 뒤집히는 예
이것을 18세기 프랑스 수학자 콩도르세가 발견한 투표의 역설(Condorcet Paradox)이라 부릅니다. 개인은 합리적인 선호 순서를 가졌더라도, 다수결 집계 과정을 거치면 집단의 선호는 순환 모순에 빠집니다.
어떤 후보 둘을 먼저 투표에 붙이느냐는 안건 상정 순서(Agenda)에 따라 최종 승자가 조작될 수 있다는 치명적인 결함이 드러납니다.
가위바위보처럼 돕니다
「과반이 A 를 B 보다 좋아하고, B 를 C 보다, C 를 A 보다」.
콩도르세 역설
케네스 애로는 1951년 이를 수학적으로 엄밀화하여 애로의 불가능성 정리(Arrow's Impossibility Theorem)를 증명했습니다.
후보가 3명 이상일 때, ①모든 선호의 수용(만류성), ②만장일치성(파레토 효율성), ③무관한 대안으로부터의 독립성(IIA), ④비독재성이라는 지극히 당연한 4가지 공정을 동시에 만족하는 투표 집계 함수는 절대 존재하지 않음을 위상수학과 집합론으로 증명했습니다.
애로의 불가능성 정리
완벽한 투표 제도는 존재하지 않습니다 (애로, 1951 · 노벨상).
애로의 불가능성 정리
애로는 이 불가능성 정리로 1972년 노벨 경제학상을 수상했습니다. 민주주의 사회선택 이론(Social Choice Theory)은 '완벽한 제도'의 환상을 깨고 차선책을 찾는 방향으로 진화했습니다.
선호 투표제(RCV), 보르다 카운트(Borda count), 이차 투표제(Quadratic Voting) 등 전략적 왜곡과 조작 가능성을 최소화하는 알고리즘 연구로 이어집니다.
전략 투표
후보가 둘일 때만 정직이 최선입니다.
풀어 보기
콩도르세 역설과 다수결 투표. 세 유권자 1, 2, 3의 후보 A, B, C에 대한 선호 순서가 다음과 같다.
· 1번:
· 2번:
· 3번:
(1) 1대1 다수결 대결에서 A 대 B, B 대 C, C 대 A 의 승자를 각각 구하시오.
(2) 이 투표 결과에서 집단의 선호가 이행성(Transitivity)을 만족하지 못하는 까닭을 쓰시오.
(3) 세 명 이상의 대안이 있을 때 모든 공정한 조건을 만족하는 민주적 투표 제도가 존재하지 않음을 밝힌 정리를 쓰시오.
(1) A 승, B 승, C 승으로 순환 모순이 발생합니다.
답과 풀이 보기
(1) 셋 다 2 대 1로 갈립니다.
· A 대 B — 1 번()과 3 번() → A 승
· B 대 C — 1 번()과 2 번() → B 승
· C 대 A — 2 번()과 3 번() → C 승
(2) 이고 이면 여야 하는데, 실제 투표에서는 가 나왔습니다.
— 돌고 돕니다.
⛔ 개인 셋은 모두 멀쩡한 순서를 갖고 있습니다. 그런데 그것을 다수결로 합치자 집단의 순서가 무너졌습니다. 가위바위보처럼 이기는 순서가 순환합니다.
⭐ 그래서 어느 둘을 먼저 붙이느냐가 최종 승자를 정하게 됩니다 — 안건 순서를 정하는 사람이 결과를 정할 수 있습니다.
(3) 애로의 불가능성 정리입니다 (1951 년 케네스 애로).
대안이 셋 이상일 때, 몇 가지 당연해 보이는 조건 — 만장일치 존중 · 무관한 대안에 흔들리지 않기 · 독재자 없음 — 을 모두 만족하는 투표 제도는 존재하지 않습니다.
애로는 이 증명으로 1972 년 노벨 경제학상을 받았습니다. 당시 51 세, 역대 최연소였습니다.
이것은 민주주의가 틀렸다는 말이 아닙니다. 완벽한 투표 방식은 없으니 무엇을 포기할지 골라야 한다는 말입니다.
1785 년 콩도르세가 이미 이 순환을 발견했지만, 그것이 피할 수 없는 일임을 증명하는 데 166 년이 걸렸습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
이 정리는 정치와 경제를 함께 흔들었습니다.
- 선거 제도 — 결선투표·순위투표 등 모두 장단이 있습니다
- 순위 매기기 — 스포츠 랭킹, 검색 결과 정렬에도 같은 문제가 있습니다
- 이기는 주사위 — 앞의 어느 장에서 본 「돌고 도는 관계」와 같은 뿌리입니다
이어지는 장
같은 표를 가지고도 선거구를 어떻게 쪼개느냐에 따라 승패가 뒤집히는 것처럼, 투표 집계 방식 자체에도 모두를 만족시킬 수 없는 수학적 모순이 숨어 있습니다 — 제10장 에서 표와 제도가 빚어내는 긴장을 다시 봅니다.
영감을 받은 곳
케네스 애로(Kenneth Arrow)가 1951년에 펴낸 저서 『사회적 선택과 개인의 가치』(Social Choice and Individual Values)에서 공리화한 불가능성 정리에서 왔습니다.