왜 어디서나 종 모양인가

주사위 두 개를 굴려 눈의 합을 적습니다. 여러 번 굴려 합마다 몇 번 나왔는지 막대로 그려 보세요.

2와 12는 좀처럼 안 나오고 7이 가장 많이 나옵니다. 까닭은 세어 보면 압니다. 합이 2가 되는 길은 (1,1) 하나뿐인데, 7이 되는 길은 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 여섯 가지입니다.

주사위를 세 개로 늘려 보세요. 산이 더 둥글어집니다.

종 모양 곡선은 가운데(평균) 와 퍼진 정도(표준편차) 두 수만으로 정해집니다. 그리고 어디에 몇 %가 있는지가 늘 같습니다.

평균에서 표준편차 1배 안에 약 68%, 2배 안에 약 95%, 3배 안에 약 99.7%.

키의 평균이 170cm 이고 표준편차가 6cm 라면, 158cm~182cm 사이에 스무 명 중 열아홉이 들어갑니다. 그림 없이도 셈이 됩니다.

중심극한정리가 이 장의 알맹이입니다. 서로 상관없는 확률변수를 개 더하면, 그 합의 분포는 이 커질수록 정규분포로 다가갑니다.

놀라운 것은 원래 분포가 무엇이든 상관없다는 점입니다. 주사위든 동전이든 찌그러진 분포든, 더하기만 하면 종이 됩니다. 평균과 분산만 유한하면 됩니다.

그래서 정규분포는 「자연이 좋아하는 모양」이 아니라 「많이 더하면 나오는 모양」입니다.

왜 하필 이 곡선일까요. 답이 여럿입니다.

① 안정분포 — 정규분포끼리 더하면 다시 정규분포입니다. 이 성질을 가진 분포는 몇 없습니다.

② 최대엔트로피 — 평균과 분산만 정해졌을 때 「가장 아는 것이 적은」 분포가 정규분포입니다. 덧붙인 가정이 가장 적다는 뜻입니다.

③ 다만 모든 것이 정규분포인 것은 아닙니다. 소득, 도시 인구, 지진 규모는 꼬리가 훨씬 두꺼워 「평균에서 3배」로는 어림도 없습니다. 여기에 종 모양을 들이대면 드물게 큰 사건을 불가능한 것으로 잘못 셉니다.