아킬레우스와 거북
거북을 따라가 보세요
발 빠른 영웅 아킬레우스보다 100미터 앞에서 느림보 거북이 출발합니다. 아킬레우스가 100미터를 달리면 거북은 10미터 앞서 있습니다.
다시 10미터를 쫓아가면 거북은 1미터 앞에 있습니다. 아킬레우스는 영원히 거북의 발자국만 밟으며 뒤처져야 할까요?
이야기
Pellegrini Tiballdi
Public domain · 위키미디어 공용
기원전 5세기 남이탈리아의 엘레아. 제논이 이 이야기를 지어낸 데는 목적이 있었습니다. 그의 스승 파르메니데스는 「움직임이란 없다, 우리 눈이 속는 것이다」라고 가르쳤습니다. 사람들이 그 말을 비웃자, 제자가 스승을 변호하려고 만든 것이 이 역설입니다.
그런데 이 말장난 같은 이야기를 완전히 정리하는 데 2400년이 걸렸습니다. 아리스토텔레스가 반박했고 여러 사람이 답했지만, 「끝없이 많은 것을 더했는데 값이 유한하다」를 흐리지 않게 정의한 것은 19세기 코시와 바이어슈트라스에 이르러서였습니다.
잘못된 곳은 「끝없이 되풀이되니 시간도 끝없다」는 대목입니다. 걸리는 시간을 실제로 적어 보십시오. 아킬레우스가 거북의 열 배 빠르다면 10초, 1초, 0.1초, 0.01초 — 토막은 끝없이 많은데 하나하나가 급하게 작아집니다.
이것을 다 더하면 11.111…초, 곧 100/9초입니다. 유한합니다. 그러니 그 시각이 지나면 이미 지나쳐 있습니다. 무한히 많이 나눌 수 있다는 것과 무한히 오래 걸린다는 것은 전혀 다른 말이기 때문입니다.
무한히 많이 더해도 유한할 수 있다는 것 — 이것이 미적분의 문턱입니다.
동영상이 매끄럽게 보이는 것, 곡선을 잘게 쪼개 길이를 재는 것, 이자를 순간마다 붙이는 것이 모두 이 생각 위에 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
거리를 반씩 줄여 걸어 본다
방 한쪽 벽에서 반대쪽 벽까지 걸어갑니다. 먼저 절반을 가고, 남은 거리의 절반을 가고, 다시 남은 거리의 절반을 갑니다.
반씩 쪼개면 1/2, 1/4, 1/8, 1/16... 쪼개는 횟수는 무한히 많지만, 걸어간 거리를 다 더하면 정확히 방 전체 길이 1이 됩니다. 무한 번 쪼개도 전체 거리는 절대 무한대가 되지 않습니다.
거북을 따라가 보세요 — 한 걸음씩
아킬레우스를 손가락으로 끌어 보세요. 아래 단추를 누르면 거북이 있던 자리로 한 걸음씩 건너뜁니다.
걸음마다 시간이 10분의 1로 줄기 때문입니다 — 9 + 0.9 + 0.09 + … 는 아무리 더해도 10을 넘지 않습니다.
무한히 더해도 값이 있다
고대 그리스의 철학자 제논은 시간을 무한 개의 찰나로 쪼개어 착시를 만들었습니다. 거북을 따라잡는 과정이 무한 단계인 것은 맞지만, 그 무한한 단계가 일어나는 시간의 합도 유한합니다.
1초 + 0.1초 + 0.01초 + 0.001초... 를 무한히 더하면 정확히 1.111...초(= 10/9초)라는 유한한 시간이 되어 아킬레우스는 거북을 시원하게 앞지릅니다.
반씩 줄여 걸으면 어디까지 갈까요
그런데 영원히 벽에 닿지 않습니다. 언제나 「남은 것의 절반」만 걷기 때문입니다.
그래도 걸은 거리는 1 m 를 넘지 않습니다 — 이것이 「무한히 더해도 값이 있다」입니다.
등비급수의 합
등비수열 의 무한합인 무한등비급수 공식 ()로 명쾌하게 풀립니다.
거리의 합 지점에서 만납니다. 무한 개의 항을 더해도 수렴 반경 안에서는 명확한 실수 값이 존재합니다.
공비를 바꾸면 합은 어떻게 될까요
r = 0.99 면 합이 100 이고, r 이 1 이 되면 합이 없습니다 — 항이 줄지 않으니 영원히 커집니다.
그래서 등비급수는 |r| < 1 일 때만 값을 가집니다.
극한의 엄밀한 뜻
제논의 역설은 19세기 코시와 바이어슈트라스의 입실론-델타(-) 극한 정의와 실수의 완비성 공리(Completeness Axiom)를 통해 비로소 논리적 완결을 보았습니다.
현대 양자역학에서는 입자를 지속적으로 관측하면 상태 전이가 억제되는 현상을 양자 제논 효과(Quantum Zeno effect)라 부르며 역설의 이름을 계승하고 있습니다.
ε 을 정하면 N 이 있습니다
얼마나 가까이 갈지 ε 을 정해 보세요. 그만큼 가까워지는 N 이 늘 있습니다.
「점점 가까워진다」는 느낌이 아니라, ε 을 주면 N 을 내놓는 약속으로 바꾼 것입니다.
제논의 물음이 이천 년 만에 이렇게 답을 얻었습니다.
풀어 보기
무한등비급수와 거북 추월 문제. 아킬레우스의 속력은 초속 이고 거북의 속력은 초속 이다. 거북이 아킬레우스보다 앞에서 출발하였다.
(1) 아킬레우스가 거북의 출발점에 도달할 때까지 걸린 시간 과 그동안 거북이 이동한 거리 을 구하시오.
(2) 이후 각 단계마다 걸리는 시간들의 무한합 의 값을 무한등비급수 공식을 써서 구하시오.
(3) 아킬레우스가 거북을 따라잡는 데 걸린 총시간과 달린 총거리를 구하시오.
(2) 초, (3) 10초 동안 100 m 를 달려 거북을 추월합니다.
답과 풀이 보기
(1) , 그동안 거북은 갑니다.
(2) 첫항 9, 공비 0.1 인 무한등비급수이므로
(3) 10초 동안 아킬레우스는 를 달려 거북을 따라잡습니다.
다르게 세어 보면 더 분명합니다. 둘의 속력 차가 이고 벌어진 거리가 90 m 이니 초 — 같은 답입니다.
제논의 이야기가 이상하게 들리는 까닭은 한없이 많이 나눈 것이 한없이 오래 걸린다고 여겼기 때문입니다. 무한히 많은 조각을 더해도 그 합이 10초에서 멈춥니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「끝없이 많은 것을 더해도 값이 있다」는 오늘날 수학의 큰 기둥입니다.
- 순환소수 — 0.333…이 인 것이 바로 이 이야기입니다
- 미분과 적분 — 아주 짧은 조각을 끝없이 더해 넓이와 속도를 구합니다
- 컴퓨터 그래픽 — 곡선을 아주 짧은 직선 조각으로 나누어 그립니다
이어지는 장
무한히 쪼개진 시간과 거리를 더해도 유한한 값에 도달한다는 무한급수의 원리는, 소수가 끝없이 이어져도 정확히 하나의 정수가 되는 놀라운 등식과 직결됩니다 — 제115장에서 무한을 다루는 명쾌한 해답을 만나보세요.
영감을 받은 곳
기원전 5세기 엘레아의 제논이 제시한 운동의 역설로, 아리스토텔레스의 저서 『자연학』 제6권에 수록되어 전해집니다.