나폴레옹 삼각형
세 변에 정삼각형을 붙여 보세요
제멋대로 생긴 아무 삼각형이나 그리고, 세 변을 밑변으로 삼아 바깥쪽으로 정삼각형 3개를 각각 세웁니다.
세 정삼각형의 무게중심 3개를 찾아서 곧은 선으로 이어 보세요. 또 하나의 완벽한 정삼각형이 탄생합니다. 원래 삼각형이 아무리 찌그러져 있어도 왜 중심들은 정삼각형으로 뭉칠까요?
이야기
Henri Félix Emmanuel Philippoteaux
Public domain · 위키미디어 공용
나폴레옹은 정말 수학을 좋아했습니다. 1798년 이집트 원정에 학자 167명을 배에 태우고 갔고, 그 안에 기하학자 몽주와 푸리에가 있었습니다. 그는 프랑스 학사원의 수학 부문 회원이기도 했습니다.
그런데 이 정리를 그가 찾았다는 기록은 어디에도 없습니다. 이 이름이 인쇄물에 처음 나타난 것은 그가 세상을 떠나고 네 해 뒤인 1825년, 그것도 더블린에서였습니다. 이름만 남고 근거는 없는 셈입니다.
왜 못생긴 삼각형에서도 반듯한 정삼각형이 나올까요. 세 정삼각형의 중심을 차례로 잇는 일은, 60도씩 세 번 돌리는 일과 같습니다.
60도를 세 번 돌리면 180도이고, 그것은 제자리로 되돌아오는 회전입니다. 돌리는 각이 처음 삼각형의 모양과 상관없이 언제나 60도로 정해져 있기 때문에, 결과도 언제나 정삼각형이 됩니다.
회전을 곱셈으로 다루는 힘을 보여 줍니다. 복소수로 옮기면 증명이 몇 줄로 끝납니다.
그 방식이 지금 컴퓨터 그래픽의 기본입니다 — 화면 속 물체를 돌리고 기울이는 계산이 모두 회전의 곱셈입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
삼각형에 정삼각형 셋을 붙여 본다
도화지에 납작하거나 뾰족한 삼각형을 그립니다. 세 변 위에 정삼각형 세 개를 왕관처럼 덧붙여 그립니다.
각 정삼각형의 정가운데(무게중심) 세 점을 콕 찍고 자로 이어 봅니다. 세 변의 길이를 재어 보면 셋 다 1밀리미터도 틀리지 않고 똑같은 정삼각형이 완성됩니다.
바깥에 정삼각형을 세워 보세요
나폴레옹이 발견했다는 말이 있으나 근거는 없습니다.
중심을 이어 재 보기
정삼각형을 바깥쪽으로 붙이면 바깥 나폴레옹 삼각형, 안쪽으로 붙이면 안쪽 나폴레옹 삼각형이 생기며 둘 다 정삼각형이 됩니다.
바깥 정삼각형의 넓이를 , 안쪽 정삼각형의 넓이를 이라 하면 둘의 넓이 차 은 놀랍게도 원래 처음 삼각형의 넓이와 정확히 일치합니다.
넓이를 재 보세요
세 변만 알면 바로 나옵니다.
회전·복소수로 증명
복소수와 회전 변환을 사용하면 증명이 가장 명쾌해집니다. 복소평면에서 120도 회전 연산자 ()를 도입합니다.
세 꼭짓점 복소수 에 대해 세 정삼각형 중심 을 나타내고 이 성립함을 대수적으로 확인하면 중심들이 정삼각형을 이룸이 완벽히 증명됩니다.
안쪽에도 세워 보세요
두 나폴레옹 삼각형은 중심이 같습니다.
복소평면의 힘
프랑스의 황제 나폴레옹 보나파르트의 이름이 붙어 있으나 실제 발견자는 불분명합니다. 이 정리는 기하학에서 대칭군과 군론적 불변량의 강력한 힘을 보여줍니다.
페트르-더글러스-뉴먼 정리(Petr-Douglas-Neumann Theorem)로 일반화되어 임의의 각형에 정 각형을 붙여나가는 다단계 기하 변환의 고유공간 분해로 확장됩니다.
복소수로 보면
복소수는 회전을 곱셈으로 바꿔 줍니다.
풀어 보기
나폴레옹 삼각형의 성질. 임의의 삼각형 의 세 변에 바깥쪽과 안쪽으로 정삼각형을 세워 각각 바깥 나폴레옹 삼각형과 안쪽 나폴레옹 삼각형을 구성한다.
(1) 바깥 나폴레옹 삼각형의 세 변의 길이 관계를 쓰시오.
(2) 원래 삼각형 의 넓이가 이고 바깥 나폴레옹 삼각형의 넓이가 일 때, 안쪽 나폴레옹 삼각형의 넓이를 구하시오.
(3) 원래 삼각형이 정삼각형일 때 안쪽 나폴레옹 삼각형의 넓이를 구하시오.
(1) 세 변의 길이가 모두 같습니다(정삼각형), (2) , (3) 0 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 세 변의 길이가 모두 같습니다 — 언제나 정삼각형입니다.
원래 삼각형이 아무리 찌그러져 있어도, 세 변에 세운 정삼각형의 중심 세 개는 반드시 정삼각형을 이룹니다. 이것이 나폴레옹 정리입니다.
(2) 8 입니다.
바깥 나폴레옹 삼각형과 안쪽 나폴레옹 삼각형의 넓이 차이는 원래 삼각형의 넓이와 정확히 같습니다.
(3) 0 입니다.
원래 삼각형이 정삼각형이면 안쪽 나폴레옹 삼각형의 세 꼭짓점이 한 점으로 겹쳐 버립니다 — 그 점은 원래 삼각형의 중심입니다.
확인 : (2) 의 관계에 넣으면 — 곧 바깥 나폴레옹 삼각형이 원래 삼각형과 넓이가 같아집니다.
나폴레옹의 이름이 붙어 있지만 그가 찾았다는 증거는 없습니다. 그는 수학을 좋아했고 수학자들과 가깝게 지냈을 뿐입니다.
⭐ 놀라운 것은 출발점이 아무래도 상관없다는 점입니다. 찌그러진 삼각형에서 시작해도 완벽한 정삼각형이 나옵니다. 무질서 속에서 정확한 대칭이 걸어 나옵니다. 세 변에 세운 정삼각형이 저마다 60 도라는 같은 각을 품고 있어, 원래 삼각형이 어떻게 생겼든 그 각이 서로를 상쇄하기 때문입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
회전을 곱셈으로 다루는 것이 복소수의 힘입니다.
- 복소평면 — 도형 문제를 대수로 바꿔 풉니다
- 컴퓨터 그래픽 — 회전을 수로 다루는 것이 그래픽의 기본입니다
- 직접 그리기 — 자와 컴퍼스로 그려 보면 정말 정삼각형이 나옵니다
이어지는 장
아무 사각형이나 네 변의 중점을 차례로 이으면 항상 반듯한 평행사변형이 만들어지듯, 아무 삼각형의 세 변에 정삼각형을 세워 중심을 이어도 완벽한 정삼각형이 태어납니다 — 제55장 에서 중점과 대칭이 빚어내는 균형을 함께 느껴보세요.
영감을 받은 곳
1825년 윌리엄 러더퍼드(William Rutherford)가 영국 잡지 《레이디스 다이어리》(The Ladies' Diary)에 문제로 싣고 나폴레옹 보나파르트의 이름이 덧붙여 전해진 기하학 정리입니다.