굴러가는 점이 그리는 길
동전을 굴리며 점을 찍으면
동전 가장자리에 네임펜으로 빨간 점을 하나 찍고, 책상 위에 자를 댄 뒤 동전을 미끄러지지 않게 한 바퀴 굴려 보세요.
빨간 점이 공중으로 떠올랐다가 바닥으로 내려앉으며 그리는 아치 곡선이 나타납니다. 이 곡선 위에서 구슬을 굴리면 왜 어떤 위치에서 출발하든 바닥까지 걸리는 시간이 정확히 같을까요?
이야기
Caspar Netscher
Public domain · 위키미디어 공용
1658년 어느 밤, 파스칼은 심한 치통으로 잠을 이루지 못했습니다. 아픔을 잊으려고 이 곡선을 머릿속으로 붙잡고 늘어졌는데, 놀랍게도 통증이 가셨습니다. 그는 이것을 하늘의 뜻으로 여기고 여드레 동안 매달려 이 곡선의 성질들을 풀어냅니다.
그런데 이 곡선의 별명은 「기하학자들의 헬레네」였습니다. 아름다워서가 아닙니다. 싸움을 일으켜서입니다. 갈릴레오, 로베르발, 토리첼리, 데카르트, 파스칼, 베르누이 형제 — 17세기의 이름난 수학자들이 「내가 먼저 찾았다」를 두고 수십 년을 다퉜습니다.
두 가지 성질이 특히 놀랍습니다. 하나는 가장 빨리 내려오는 길이라는 것입니다. 직선보다 빠릅니다. 처음에 가파르게 떨어져 속도를 벌어 두기 때문입니다.
다른 하나는 어디서 놓아도 바닥에 닿는 시각이 같다는 것입니다. 높은 데서 놓으면 갈 길이 먼데, 그만큼 빨라지기 때문에 정확히 상쇄됩니다. 그래서 하위헌스는 이 곡선으로 흔들이 시계를 만들려 했습니다.
땅에 닿는 순간 그 점의 속도가 0이라는 것도 재미있습니다. 그래서 뾰족한 모서리가 생깁니다.
톱니바퀴의 잇면이 이 곡선입니다. 사이클로이드 이를 쓰면 힘이 고르게 전달되고 소음이 적습니다.
시계 안의 작은 톱니, 자전거 체인, 공장 기계의 기어에 이 곡선이 들어 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
동전을 굴리며 점을 따라 그린다
자전거 바퀴에 반사 스티커를 붙이고 밤길을 달릴 때 불빛이 그리는 궤적을 관찰해 보세요. 둥근 원이 아니라 공중으로 솟구치는 물결 파도 모양이 됩니다.
직선 위를 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 이 길을 사이클로이드(Cycloid)라고 부릅니다. 기하학의 헬레네라 불릴 만큼 아름답고 기묘한 성질을 가득 품고 있습니다.
굴러가는 점을 따라가 보세요
가장 높이 오르는 것은 2r, 한 바퀴에 2πr 갑니다.
모양을 그려 확인
반지름이 인 원이 구른 각도를 라 할 때, 원의 중심은 로 이동하고 점의 상대 위치는 가 됩니다.
따라서 사이클로이드의 매개변수 방정식은 가 됩니다. 원이 한 바퀴 구르는 동안 이동한 거리는 정확히 원주 이 됩니다.
아치의 넓이와 길이
π 가 하나도 안 남는 깔끔한 길이 — 갈릴레오도 놀랐습니다.
매개변수 방정식
사이클로이드를 뒤집어 높은 곳에서 낮은 곳으로 미끄럼틀을 만들면, 중력만으로 가장 빠르게 내려오는 최속강하곡선(Brachistochrone)이 됩니다.
더욱 놀라운 것은 곡선 위의 어느 지점에서 구슬을 놓아도 최하점까지 도달하는 시간이 출발 위치와 무관하게 항상 일정한 등시곡선(Tautochrone)의 성질을 갖는다는 점입니다. 호이겐스는 이 원리로 정밀한 진자시계를 설계했습니다.
가장 빨리 내려오는 길
베르누이가 1696년에 낸 문제 — 뉴턴이 하룻밤에 풀었습니다.
등시성
변분법에서 오일러-라그랑주 방정식을 적용하여 하강 시간 범함수 를 최소화하면 미분방정식 이 얻어지며, 그 해가 사이클로이드임이 유일하게 증명됩니다.
또한 사이클로이드의 신개선(Evolute)과 축폐선(Involute) 역시 합동인 사이클로이드가 되는 기하학적 완전성을 보입니다.
어디서 놓아도 같은 시간
하위헌스가 이것으로 정확한 시계를 만들려 했습니다.
풀어 보기
사이클로이드의 성질. 반지름 인 원이 한 바퀴 구를 때 생기는 사이클로이드 () 에 대하여 답하시오.
(1) 곡선의 최고점의 좌표를 로 나타내시오.
(2) 사이클로이드 아래의 넓이는 굴린 원의 넓이()의 정확히 3배()이다. 반지름이 2cm인 원으로 만든 사이클로이드의 넓이를 구하시오.
(3) 등시곡선 성질이 시계 제작에서 왜 중요한지 진자의 진폭과 관련지어 서술하시오.
(1) 은 가 최대가 되는 각도 를 대입하세요.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
는 일 때, 곧 에서 가장 큽니다.
가장 높은 곳이 지름만큼이라는 것은 당연하지만, 가로 자리가 — 원둘레의 절반인 것이 재미있습니다.
(2) (약 ) 입니다.
(3) 보통 진자는 크게 흔들리면 주기가 길어집니다. 그래서 태엽이 풀려 흔들림이 작아지면 시계가 빨라집니다.
그런데 사이클로이드 위에서 미끄러지면 어디서 놓든 내려오는 시간이 똑같습니다. (등시곡선) 흔들림의 크기가 변해도 주기가 흔들리지 않습니다.
그래서 배 위처럼 흔들리는 곳에서도 시계가 정확해집니다.
1659 년 하위헌스가 이것을 알아내고 진자 옆에 사이클로이드 모양 뺨을 달았습니다. 실이 그 뺨을 타고 감기면 추가 저절로 사이클로이드를 그립니다.
가장 빨리 내려오는 곡선(최속강하선)도, 어디서 놓든 같은 시간에 닿는 곡선도 둘 다 사이클로이드입니다. 한 곡선이 두 자리를 다 차지했습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
구르며 그리는 곡선은 여러 곳에 쓰입니다.
- 톱니바퀴 — 톱니 옆면을 사이클로이드나 인벌류트 곡선으로 깎으면 부드럽게 맞물립니다
- 미끄럼틀 설계 — 가장 빨리 내려오는 길입니다
- 직접 그리기 — 동전을 자에 대고 굴리며 한 점을 따라 찍어 보세요
이어지는 장
굴러가는 바퀴의 한 점이 남긴 이 곡선은 공을 굴렸을 때 가장 빠르게 떨어지는 최단강하선이자 어디서 놓든 같은 시간에 닿는 등시강하선이 됩니다 — 제51장 과 사실은 한 몸인 이야기입니다.
이어지는 자료
영감을 받은 곳
갈릴레오 갈릴레이가 1599년경 '사이클로이드'라 명명하여 연구하였고, 17세기 질 드 로베르발(Gilles de Roberval)과 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli)가 곡선 아래 넓이가 굴린 원 넓이의 정확히 3배임을 증명했습니다.