친화수 220 과 284
둘이 서로를 가리킵니다
종이에 220을 쓰고, 220을 뺀 나머지 약수를 모두 찾아 더해 보세요. 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 — 열한 개를 더하면 284가 나옵니다.
이번엔 284로 같은 일을 해 보세요. 284를 뺀 약수를 모두 더하는 겁니다. 무엇이 나올까요?
이야기
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먼저 220의 약수를 모두 찾아 더해 보세요. 자기 자신은 빼고요. 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 입니다.
이번엔 284의 약수를 더해 보세요. 1+2+4+71+142 = 220 입니다.
서로가 서로를 가리킵니다. 이런 두 수를 친화수라 합니다. 옛사람들은 이 짝에 특별한 뜻을 두어 부적에 새기기도 했다고 전해집니다.
다음 친화수 짝은 1184와 1210입니다. 그런데 이 짝은 1866년에야 발견되었고, 찾은 사람은 열여섯 살 소년 니콜로 파가니니였습니다. 큰 수학자들이 수백 년 동안 지나쳤던 작은 수를 소년이 찾은 것입니다.
친화수가 무한히 많은지는 아직 아무도 모릅니다. 약수를 더하는 아주 단순한 셈인데도 그렇습니다.
220과 284 다음 짝은 1184와 1210입니다. 그런데 이것을 찾은 사람은 1866년 열여섯 살 소년 니콜로 파가니니였습니다. 오일러가 이미 예순 쌍 넘게 찾아 놓은 뒤였는데도 이 작은 짝은 아무도 못 보고 있었습니다.
까닭은 오일러가 공식을 세워 큰 것부터 찾았기 때문입니다. 그물이 성겨서 작은 것이 빠져나간 것입니다. 소년은 공식 없이 손으로 차례차례 세어 보았습니다.
실생활에 쓰이는 곳은 없습니다. 부적과 선물에 새기던 옛 풍습이 있었을 뿐입니다.
그래도 값집니다. 이런 수를 찾다가 약수를 빠르게 구하는 방법이 여럿 나왔고, 그것이 지금 암호와 계산에 쓰입니다. 쓸모없어 보이는 물음이 도구를 남긴 것입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
약수를 찾아 더해 본다
약수를 직접 적어 봅니다. 220의 진약수를 작은 순서대로 적어 더하면 284가 되고, 284의 진약수인 1, 2, 4, 71, 142를 더하면 220이 됩니다.
서로가 서로의 약수 합이 되는 이 신기한 두 수를 친화수라고 부릅니다. 종이에 직접 짝을 적어 보며 두 수가 어떻게 이어지는지 눈으로 확인해 보세요.
서로의 약수를 더해 보세요
피타고라스가 「친구란 무엇인가」에 답으로 든 수입니다.
⭐ 220 과 284 를 나란히 넣어 보세요 — 서로를 가리킵니다.
다른 친화수 찾기
어떤 수의 약수 합을 구할 때 소인수분해를 쓰면 훨씬 빠릅니다. 이므로 모든 약수의 합은 입니다.
여기서 자기 자신인 220을 빼면 284가 나옵니다. 마찬가지로 의 약수 합은 이고, 284를 빼면 220이 됩니다. 모든 약수의 합이 504로 같다는 사실이 핵심입니다.
친화수 짝을 찾아 보세요
오일러도 데카르트도 지나쳤던 짝입니다.
규칙을 찾으려는 시도들
9세기 아랍의 수학자 타빗 이븐 쿠라는 친화수를 만드는 공식을 찾아냈습니다. , , 이 모두 소수일 때, 와 은 친화수 쌍이 됩니다.
일 때 이 되어 220과 284가 나옵니다. 오일러는 이 규칙을 더 넓혀 수십 쌍의 친화수를 더 찾아냈습니다.
사교수 — 고리가 더 길면
가장 긴 것은 28 개짜리 고리입니다 (14316 에서 시작).
미해결 문제
친화수 연구는 정수론에서 약수 함수 의 성질을 규명하는 현대 수학으로 이어졌습니다. 를 만족하는 순서쌍 를 찾는 문제입니다.
놀랍게도 친화수 쌍이 무한히 존재하는지, 또는 서로 홀수인 친화수 쌍이 존재하는지는 아직 수학계의 미해결 난제로 남아 있습니다. 16세 소년 파가니니가 찾아낸 1184와 1210처럼, 단순한 정의 속에 깊은 미지의 질서가 숨어 있습니다.
얼마나 많은가
그런데 무한히 많은지는 모릅니다 — 완전수와 같은 처지입니다.
⭐ 완전수는 52 개뿐인데 친화수는 12 억 쌍입니다 — 훨씬 흔합니다.
풀어 보기
친화수 확인하기. 어떤 자연수 의 진약수(자기 자신을 제외한 약수)의 합을 이라 하자. 두 자연수 가 이고 일 때 를 친화수 쌍이라 한다.
(1) 220의 진약수를 모두 나열하고, 그 합이 284임을 보이시오.
(2) 의 진약수의 합 를 구하시오.
(3) 의 진약수의 합 을 구하여 (1184, 1210)이 친화수 쌍임을 보이시오.
소인수분해를 이용해 모든 약수의 합을 먼저 구한 뒤, 자기 자신을 빼면 진약수의 합을 쉽게 구할 수 있습니다.
답과 풀이 보기
(1) 220 의 진약수는
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 — 열한 개입니다.
더하면
(2) 이므로 모든 약수의 합은
자기 자신을 빼면
(3) 이므로
서로를 가리키므로 은 친화수 쌍입니다. 재미있는 것은 두 수의 약수의 합이 2394 로 같다는 점입니다 — 친화수 쌍의 공통된 성질입니다. 이 쌍은 1866 년 열여섯 살 소년 파가니니가 찾았습니다. 오일러도 수십 쌍을 찾았으면서 이 작은 쌍을 놓쳤습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
약수를 더하는 셈은 수를 이해하는 가장 오래된 길입니다.
- 완전수 — 자기 약수의 합이 자기 자신이 되는 수입니다. 6과 28이 그렇습니다
- 미해결 문제 — 친화수가 끝없이 있는지, 홀수 친화수가 있는지 아직 모릅니다
- 직접 찾기 — 계산기로 작은 수부터 약수를 더해 보면 누구나 탐험할 수 있습니다
이어지는 장
서로의 약수를 다 더해 상대방이 되는 친화수는, 자기 자신의 진약수를 모두 더했을 때 자기 자신이 되는 완전수의 성질과 뿌리가 같습니다 — 제72장에서 고대 수학자들이 매료되었던 완벽한 수의 균형을 살펴보세요.
영감을 받은 곳
기원전 5세기 피타고라스 학파가 220과 284의 우애수를 처음 발견했다고 전해지며, 4세기 이암블리코스의 『니코마코스 산술 입문 주해』에 초기 기록이 남아 전해집니다.