지도는 왜 거짓말하나
귤껍질은 찢어집니다
둥근 귤의 껍질을 칼로 조심스럽게 벗긴 뒤, 책상 위에 반듯하게 펴 보려고 꾹 눌러 보세요.
가장자리가 찢어지거나 중심이 툭 터져 버립니다. 둥근 지구를 찢거나 늘리지 않고 평평한 직사각형 지도에 담는 완벽한 방법이 과연 존재할까요?
이야기
Nicolas III de Larmessin (1684–1755)[3]
Public domain · 위키미디어 공용
세계 지도에서 그린란드를 보세요. 아프리카만큼 커 보입니다. 그런데 실제로는 아프리카가 열네 배 큽니다.
지도가 거짓말을 하는 것일까요? 그렇기도 하고 아니기도 합니다.
둥근 지구를 평평한 종이에 옮기면 반드시 어딘가 일그러집니다. 이것은 기술이 모자라서가 아니라 수학적으로 불가능합니다. 귤 껍질을 벗겨 평평하게 눌러 보면 찢어지는 것과 같습니다.
그러니 무엇을 지키고 무엇을 버릴지 골라야 합니다. 헤라르뒤스 메르카토르가 1569년에 만든 지도는 각을 지키고 넓이를 버렸습니다.
왜 각을 지켰을까요? 뱃사람 때문입니다. 이 지도에서는 나침반 방향을 일정하게 유지하면 직선이 됩니다. 항해에는 그것이 목숨입니다. 대신 극지방이 엄청나게 부풀었습니다.
지도는 거짓말을 하는 것이 아니라, 무엇을 지킬지 골랐을 뿐입니다.
이 지도를 만든 헤라르뒤스 메르카토르는 1569년에 이것을 내놓기 앞서 험한 일을 겪었습니다. 그는 1544년 이단 혐의로 붙잡혀 일곱 달을 갇혔다가 풀려났습니다. 지구가 어떻게 생겼는지 말하는 일이 위험하던 시절이었습니다.
지금 보는 지도 앱이 이 투영을 씁니다. 각도가 보존되어 길 찾기에 좋지만, 고위도가 크게 부풀려집니다.
그래서 그린란드가 아프리카만큼 커 보이지만 실제로는 14분의 1입니다. 세계를 어떻게 보느냐가 지도에 달려 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
귤 껍질을 펼쳐 본다
지구본과 세계지도를 나란히 놓고 그린란드의 크기를 비교해 봅니다. 지도에서는 그린란드가 거대한 아프리카 대륙만큼 커 보입니다.
하지만 지구본을 보면 아프리카가 그린란드보다 14배나 큽니다. 둥근 공 모양의 지구를 네모난 종이에 억지로 펴서 그리다 보니 북쪽과 남쪽 땅이 엄청나게 부풀려진 것입니다.
지도를 펴 보세요
거대한 괴물 섬인 줄 알았는데 적도로 데려오니 작은 꼬마 섬으로 변한다
넓이와 각 중 하나를 버려야 한다
메르카토르 도법은 바다를 항해하는 배를 위해 만들어졌습니다. 나침반이 가리키는 방위각을 지도 위에 직선 항로(등각항로)로 곧게 나타내기 위해 각도를 정확하게 유지하도록 설계되었습니다.
각도를 지키는 대신 고위도로 갈수록 가로와 세로를 같은 비율로 확대했기 때문에, 극지방에 가까운 땅의 넓이가 엄청나게 왜곡되는 대가를 치른 것입니다.
그린란드와 아프리카
북극으로 올라갈수록 돋보기를 댄 것처럼 나라들이 백 배 넘게 뚱뚱해진다
투영과 왜곡 셈
수학자 가우스는 그의 놀라운 정리(Theorema Egregium)를 통해 곡면의 가우스 곡률이 국소적 등거리 변환에서 변하지 않는 불변량임을 증명했습니다.
반지름 인 구면의 가우스 곡률은 이고, 평면의 가우스 곡률은 입니다. 곡률이 다르므로 구면을 찢거나 왜곡하지 않고 평면으로 일대일 등거리 사영하는 지도는 수학적으로 불가능합니다.
무엇을 지켰나
지도에서 삐뚤빼뚤 굽어 보이는 북쪽 비행기 길이 실제로는 훨씬 빠른 지름길이다
미분기하·가우스 곡률
지도 제작법(Cartography)은 미분기하학과 리만 기하학(Riemannian Geometry)의 모태가 되었습니다. 등각 사상(Conformal Mapping), 등적 사상(Equiareal Mapping), 측지선 사상(Geodesic Mapping) 중 무엇을 보존할 것인가의 문제입니다.
현대 웹 지도(구글 맵 등)는 화면 타일링과 국소 각도 보존을 위해 Web Mercator 사영을 표준으로 사용하며, GPS 항법에서는 타원체 측지학 계산이 필수적으로 결합됩니다.
항해에는 최고였습니다
귤껍질을 찢지 않고 평평하게 펴서 바닥에 붙일 수 없듯이 평면 지도는 반드시 왜곡이 생긴다
풀어 보기
메르카토르 도법과 위도별 왜곡. 메르카토르 도법에서 위도 인 곳의 가로 확대율은 이며, 면적 확대율은 이다.
(1) 적도()에서의 면적 확대율을 구하시오.
(2) 위도 인 지역()에서의 가로 확대율과 면적 확대율을 각각 구하시오.
(3) 실제 면적이 200만 인 그린란드(위도 60° 부근)가 메르카토르 지도에서 실제 면적 3000만 인 아프리카(적도 부근)와 비슷해 보이는 까닭을 면적 확대율로 설명하시오.
(2) sec 60° = 2 이므로 면적 확대율은 2² = 4배가 됩니다.
답과 풀이 보기
(1) 이므로 — 적도에서는 왜곡이 없습니다.
(2) (가로 2 배)
(넓이 4 배)
(3) 그린란드는 지도에서 처럼 보입니다.
아프리카는 적도에 걸쳐 있어 거의 그대로 3,000 만 입니다.
그러니 지도에서는 아프리카가 그린란드의 배로만 보입니다.
실제로는 15 배입니다.
둥근 것을 평평하게 펴면 어딘가는 반드시 늘어납니다. 귤껍질을 눌러 펴면 찢어지는 것과 같은 이유입니다. 메르카토르 도법은 방향을 정확히 지키려고 넓이를 포기한 지도입니다 — 뱃길을 그리기에는 그편이 나았습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「무엇을 지키고 무엇을 버릴까」는 어디서나 선택입니다.
- 지도 투영법 — 넓이를 지키는 것, 거리를 지키는 것 등 수백 가지가 있습니다
- 자료 요약 — 평균 하나로 줄이면 편하지만 흩어짐이 사라집니다
- 가우스의 정리 — 굽은 면을 평평하게 펼 수 없다는 것은 수학적으로 증명된 사실입니다
이어지는 장
둥근 구면을 찢거나 늘리지 않고는 평평한 종이에 면적과 각도를 동시에 완벽히 옮길 수 없다는 사실은, 구면 위에서 그린 삼각형의 세 내각의 합이 왜 180도를 넘는지 보여주는 비유클리드 기하학의 핵심 이유가 됩니다 — 제7장에서 굽은 공간이 품은 기하학을 만나보세요.
영감을 받은 곳
플랑드르의 지도학자 헤라르두스 메르카토르가 1569년 발표한 세계 전도와, 카를 프리드리히 가우스가 1827년 『곡면에 관한 일반 연구』에서 증명한 곡면 곡률의 '놀라운 정리'에서 유래했습니다.