막대 하나로 지구를 재다
막대기 하나를 땅에 꽂아 보세요
하지 날 정오, 시에네에서는 우물 바닥 깊은 곳까지 그림자 없이 햇빛이 비칩니다. 같은 시각 북쪽 알렉산드리아의 막대기에는 그림자가 생깁니다.
그림자 각도를 재어 보니 7.2도였습니다. 어떻게 기원전의 학자는 막대 하나와 걸음걸이만으로 거대한 지구의 둘레를 알아냈을까요?
이야기
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기원전 3세기 알렉산드리아 도서관장 에라토스테네스는 별명이 「베타」였습니다. 무엇을 해도 두 번째라는 놀림이었습니다. 그는 지리학·시·문헌학·수학을 두루 했지만 어느 하나에서도 일인자가 아니었습니다.
그런데 정작 그 「두루 하는 것」이 이 계산을 만들었습니다. 남쪽 시에네의 우물 이야기는 여행기에 나오는 것이고, 두 도시 사이 거리는 대상들이 걸어서 잰 것이며, 각도는 기하였습니다. 세 가지를 다 아는 사람만 이을 수 있는 계산이었습니다.
까닭은 이렇습니다. 해가 아주 멀어 빛이 나란히 온다면, 한 곳에는 그림자가 없고 다른 곳에는 진다는 것은 땅이 굽었다는 뜻입니다. 그리고 막대 그림자의 7.2도는 곧 두 도시를 잇는 호가 지구 둘레의 50분의 1이라는 뜻입니다. 7.2 × 50 = 360이기 때문입니다.
그래서 그는 두 도시 사이 거리에 50을 곱했습니다. 답은 25만 스타디온이었습니다.
🚩 그가 쓴 「스타디온」이 몇 미터인지는 오늘 아무도 확실히 모릅니다. 그래서 그의 값이 오차 1%였는지 16%였는지도 말할 수 없습니다. 확실한 것은 방법이 옳았다는 것뿐입니다.
막대 하나와 그림자로 지구를 잰 이 방법이 위성 측위의 뿌리입니다. 위성이 하는 일도 결국 「각도와 거리로 자리를 알아내기」입니다.
휴대전화가 자기 자리를 아는 것은 위성 넷과의 거리를 재어 삼각형을 푸는 일입니다. 이천이백 년 전 우물과 막대가 하던 셈과 같은 종류입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
막대 그림자를 재 본다
맑은 날 운동장에 막대를 똑바로 세우고 그림자 끝을 잇는 각도를 잽니다. 만약 지구가 평평하다면 같은 시각 다른 도시에서도 그림자가 똑같아야 합니다.
하지만 지구가 둥글기 때문에 남쪽 도시에서는 그림자가 없고 북쪽 도시에서는 그림자가 기울어집니다. 그림자의 기울기 차이가 바로 둥근 지구의 굽은 각도입니다.
그림자로 지구를 재 보세요
46,250 km — 참값 40,075 km 와 15% 차이입니다. 기원전 240년에요.
비례식으로 둘레 구하기
알렉산드리아에서 측정한 각도 7.2도는 원 한 바퀴 360도의 정확히 50분의 1()이었습니다.
두 도시 사이의 실제 거리 약 5,000 스타디아에 50을 곱하면 지구 전체 둘레는 250,000 스타디아(약 40,000 km)가 됩니다. 비례식 하나로 우주선 없이 지구를 잰 것입니다.
얼마나 정확했나
그가 쓴 「스타디온」의 정확한 길이를 우리가 모를 뿐입니다.
각과 호의 관계·오차
호의 길이 공식 ( 는 라디안)에 기반한 기하학적 모델입니다. 햇빛이 지구에 평행하게 들어온다는 엇각의 성질을 이용해 중심각을 지상에서 측정했습니다.
알렉산드리아와 시에네의 경도 차이 및 거리 측정 오차가 약간 있었으나, 에라토스테네스의 계산치는 실제 지구 둘레(약 40,075 km)와 오차 1~2% 이내로 놀랍도록 정확했습니다.
위도로 재 보세요
그래서 위도만 알면 거리를 잴 수 있고, 거리를 알면 지구를 잴 수 있습니다.
측지학의 시작
에라토스테네스의 측정은 지구가 완전한 구라는 가정하에 수행된 최초의 측지학(Geodesy) 연구입니다. 18세기 뉴턴과 카시니의 논쟁을 거쳐 지구는 자전에 의해 극반지름이 짧은 편구체(Oblate spheroid)임이 밝혀졌습니다.
현대에는 GPS 위성 궤도 측정과 VLBI(초장기선 간섭계)를 활용한 타원체 좌표계(WGS84) 및 지오이드(Geoid) 중력 포텐셜 모델로 지구 형상을 정밀 측정합니다.
달까지, 해까지
같은 생각(닮은 삼각형)으로 지구도 재고 별도 잽니다.
풀어 보기
에라토스테네스의 지구 둘레 계산. 같은 경도에 위치한 두 도시 A, B 사이의 거리가 이다. 같은 날 정오에 햇빛이 도시 A 에서는 수직으로 내리쬐고, 도시 B 에서는 수직 막대기와 햇빛이 이루는 각이 였다.
(1) 각도 는 원 전체 각도 의 몇 분의 몇인지 분수로 나타내시오.
(2) 비례식을 세워 지구의 둘레 (km)를 구하시오.
(3) 지구를 구로 가정할 때, 지구의 반지름 (km)을 반올림하여 십의 자리까지 구하시오. ()
(2) , (3) 입니다.
답과 풀이 보기
(1)
(2) 두 도시 사이 각이 원의 이므로 거리도 둘레의 입니다.
(3) 이므로 → 약 6,370 km.
오늘날 잰 값이 약 6,371 km 이니, 기원전에 막대 하나와 걸음으로 이만큼 맞힌 셈입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
그림자로 각을 재는 이 방법은 지금도 살아 있습니다.
- 해시계 — 그림자의 방향과 길이로 시각과 계절을 읽습니다
- 위성 측위(GPS) — 여러 위성까지의 거리로 내 자리를 잡습니다. 「멀리 있는 것을 재서 여기를 안다」는 생각이 같습니다
- 태양광 패널 — 위도에 따라 기울기를 정합니다. 에라토스테네스가 잰 바로 그 각입니다
이어지는 장
막대기 그림자 하나로 거대한 지구 둘레를 재어 낸 에라토스테네스는, 수의 세계에서도 배수를 지워 나가는 기막힌 체를 만들어 소수를 걸러 냈습니다 — 제24장에서 같은 학자의 또 다른 통찰을 만나보세요.
이어지는 자료
영감을 받은 곳
기원전 240년경 알렉산드리아의 학자 에라토스테네스가 저서 『지리학』(클레오메데스의 천문학 기록으로 전승)에 남긴 하짓날 그림자 각도 측정 실험에서 비롯되었습니다.