같은 끈으로 가장 넓게
같은 끈으로 땅을 둘러보세요
길이가 24센티미터인 실 한 토막을 묶어 삼각형, 직사각형, 정삼각형, 정사각형을 만들어 모눈종이에 얹어 보세요.
같은 둘레인데 직사각형은 32칸, 정사각형은 36칸, 원은 45칸이 넘게 들어갑니다. 왜 둘레가 같을 때 원이 가장 넓을까요?
이야기
전설에 따르면 티레에서 도망친 디도가 북아프리카 바닷가에 닿았습니다. 그곳 왕은 「소가죽 한 장으로 두를 수 있는 만큼」만 땅을 팔겠다고 했습니다. 디도는 소가죽을 실처럼 가늘게 잘라 긴 끈으로 잇고, 그 끈으로 땅을 둘렀습니다. 그 자리에 세운 도시가 카르타고라고 전해집니다.
그런데 「원이 답이다」를 제대로 증명하는 데는 이천 년이 더 걸렸습니다. 1838년 슈타이너가 증명을 다섯 가지나 내놓았는데, 바이어슈트라스가 보니 다섯 다 같은 구멍이 있었습니다. 「답이 있다면 그것은 원이다」만 보였을 뿐 답이 있다는 것을 안 보인 것입니다. 그 구멍을 메우는 데 또 오십 년이 걸렸습니다.
그러면 왜 원일까요. 어딘가 오목하게 들어간 곳이 있다고 해 봅시다. 그 부분만 바깥으로 뒤집어 보십시오. 끈의 길이는 한 치도 변하지 않는데 넓이는 늘어납니다.
그러니 가장 넓은 모양에는 오목한 곳이 하나도 없어야 합니다. 같은 논법을 모든 방향으로 밀어붙이면 어느 쪽에서 봐도 똑같이 볼록한 것만 남는데, 그것이 원입니다.
같은 논법이 모든 방향에서 통하기 때문에, 남는 것은 어느 쪽에서 봐도 똑같이 볼록한 것 하나뿐입니다. 그것이 원입니다.
비눗방울이 둥근 까닭이 이것입니다. 같은 부피를 가장 적은 껍질로 감싸려면 공 모양이어야 합니다.
물탱크·가스통·잠수정을 둥글게 만드는 것도 같은 이유입니다 — 재료가 가장 적게 들고 압력을 고르게 견딥니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
같은 길이 끈으로 여러 모양을 만들어 넓이 재기
일정한 길이의 끈으로 모눈종이 위에 여러 가지 모양을 만듭니다. 길쭉한 직사각형보다 네 변이 같은 정사각형이 더 많은 칸을 차지합니다.
삼각형보다 사각형이, 사각형보다 육각형이 더 넓어집니다. 모서리를 둥글게 펴서 완벽한 동그라미(원)를 만들었을 때 모눈 칸을 가장 많이 품게 된다는 것을 직접 세어 확인할 수 있습니다.
끈 100 을 어떻게 두를까요
둘레는 같은 줄인데 모양을 둥글게 펼칠수록 안에 들어가는 사탕이 두 배로 많아진다
정다각형으로 다가가기
둘레가 로 일정할 때 변의 수가 많아질수록 모양은 정다각형으로 고르게 펴집니다. 꼭짓점이 각지면 귀퉁이에서 넓이 손실이 생기기 때문입니다.
만약 어떤 도형이 원이 아니라면 볼록하지 않은 부분을 뒤집거나 펴서 둘레는 그대로 유지하면서 넓이를 더 키울 수 있습니다. 따라서 더 이상 늘릴 수 없는 가장 넓은 모양은 원뿐입니다.
네모와 동그라미를 견줘 보세요
안으로 찌그러진 부분을 바깥으로 툭 펴기만 해도 둘레는 그대로인데 방이 훨씬 넓어진다
부등식으로 증명 얼개
둘레가 이고 넓이가 인 모든 닫힌 평면 곡선에 대해 등주부등식(Isoperimetric Inequality) 가 성립합니다.
등호는 오직 도형이 원일 때만 성립합니다. 야코프 슈타이너는 대칭화 기법(Steiner Symmetrization)을 통해 원이 아닌 어떤 도형도 대칭 조작으로 넓이를 엄밀히 증가시킬 수 있음을 보였습니다.
정다각형을 원에 다가가게
도형의 찌글찌글한 잔주름을 다 지우고 매끈한 원으로 만들 때만 차이가 0이 된다
변분법
등주 문제는 변분법(Calculus of Variations)에서 제약조건 하의 범함수 극대화 문제로 다루어집니다. 라그랑주 승수법을 적용하면 곡선의 모든 점에서 곡률 가 일정해야 한다는 결론이 도출됩니다.
평면에서는 원, 3차원 공간에서는 구가 해가 되며, 이는 비눗방울의 표면장력 최소화 원리와 리만 다양체 상의 소볼레프 부등식으로 확장됩니다.
등주부등식
철사 고리를 비눗물에 담갔다 빼면 비누막이 스스로 면적을 가장 작게 줄여 멈춘다
풀어 보기
둘레가 같은 도형들의 넓이 비교. 둘레의 길이가 모두 인 정삼각형, 정사각형, 원이 있다.
(1) 한 변의 길이가 인 정삼각형의 넓이 을 구하시오.
(2) 한 변의 길이가 인 정사각형의 넓이 를 구하시오.
(3) 둘레가 인 원의 반지름 과 넓이 을 구하고, 임을 확인하시오. ()
, , 로 변의 수가 많을수록 넓어집니다.
답과 풀이 보기
(1)
(2)
(3) 에서 이고
따라서 — 둘레가 같아도 변이 많을수록 넓고, 원이 가장 넓습니다. 디도 여왕이 소가죽 끈으로 두른 모양이 왜 반원이었는지가 여기 있습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「같은 둘레에 가장 넓게」는 자연이 늘 푸는 문제입니다.
- 비눗방울 — 같은 부피를 가장 작은 껍질로 감싸려다 공이 됩니다
- 세포와 물방울 — 표면을 줄이려는 힘이 모양을 정합니다
- 도시와 밭 — 담과 울타리를 아끼려면 길쭉한 것보다 둥근 것이 낫습니다
- 보온 — 겨울에 몸을 웅크리는 것도 겉넓이를 줄이는 일입니다
이어지는 장
같은 둘레로 가장 넓은 면적을 감싸는 원의 성질은, 평면을 빈틈없이 채우면서 둘레를 최소화하는 벌들의 육각형 건축술로 이어집니다 — 제25장에서 자연이 선택한 최적의 모양을 만나보세요.
영감을 받은 곳
기원전 2세기 고대 그리스 수학자 제노도로스의 저서 『등주도형에 관하여』에 최초의 증명이 기록되었으며, 1838년 야코프 슈타이너가 기하학적 분할 증명을 완성했습니다.