가장 좋은 분수
22/7 은 왜 그렇게 좋습니까
원주율의 근삿값으로 을 씁니다. 왜 하필 이 분수일까요. 분모가 7보다 작거나 같은 분수 가운데 π에 가장 가까운 것이기 때문입니다.
더 놀라운 것이 있습니다. 은 π와 소수 여섯째 자리까지 같습니다. 분모가 세 자리인데도 그렇습니다. 이런 분수들은 어떻게 찾을까요?
이야기
5세기 중국의 조충지가 을 적어 두었습니다. 그는 원주율이 3.1415926 과 3.1415927 사이에 있다고 못박았는데, 이것은 천 년 동안 세계에서 가장 정확한 값이었습니다.
그런데 그가 어떻게 구했는지는 아무도 모릅니다. 그 방법을 적은 『철술』이 송나라 때 「너무 어려워 아무도 읽지 않는다」는 이유로 과거 시험 과목에서 빠지고 끝내 사라졌기 때문입니다.
천 년 뒤 유럽에서 오일러와 라그랑주가 연분수를 체계로 세우면서, 이런 분수들이 규칙적으로 뽑혀 나온다는 것이 밝혀집니다.
방법은 뜻밖에 단순합니다. π = 3.14159… 에서 정수 부분 3을 떼어 냅니다. 남은 0.14159… 를 뒤집으면 7.0625… 입니다.
또 정수 7을 떼고 남은 것을 뒤집으면 15.99… 이 나옵니다. 이렇게 떼고 뒤집기를 되풀이해 얻은 3, 7, 15, 1, 292 … 를 층층이 쌓아 분수로 만든 것이 연분수입니다.
중간에서 끊으면 3, , , 이 차례로 나옵니다. 가장 좋은 분수들이 저절로 줄지어 나오는 것입니다.
달력의 윤년 규칙, 톱니바퀴의 잇수 정하기, 악기의 조율, 인공위성 궤도의 주기 맞추기 — 「가장 간단하면서 가장 가까운 비」를 찾아야 하는 곳에는 어김없이 연분수가 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
긴 막대를 짧은 막대로 재고 남은 것으로 또 잰다
긴 막대와 짧은 막대가 있습니다. 긴 것을 짧은 것으로 재어 몇 번 들어가고 얼마가 남는지 봅니다.
이제 남은 토막으로 짧은 막대를 잽니다. 또 몇 번 들어가고 얼마가 남습니다. 남은 토막으로 그 앞 토막을 재고… 되풀이합니다.
「몇 번 들어갔나」를 차례로 적어 보세요. 2, 1, 3, 1 … 그 숫자들이 곧 연분수입니다. 딱 떨어지면 두 막대의 길이는 간단한 비이고, 안 떨어지면 제106장 처럼 분수로 못 적는 길이입니다.
소수를 분수로 되돌린다
2.75 를 분수로 바꿔 봅시다. 정수 부분 2를 떼면 0.75 가 남고, 뒤집으면 .
정수 1을 떼면 0.333… 이 남고, 뒤집으면 3. 정수 3을 떼면 0 — 끝났습니다.
얻은 수는 2, 1, 3. 이것을 아래에서부터 쌓으면
.
2.75 = 11/4 — 맞습니다.
연분수와 최선의 근사
연분수를 중간에서 끊은 것을 수렴분수라 합니다. 수렴분수에는 놀라운 성질이 있습니다.
「분모가 그보다 작거나 같은 어떤 분수보다도 더 가깝다」 — 곧 최선의 근사입니다. 이 특별한 까닭이 이것입니다.
또 수렴분수는 참값을 번갈아 넘나듭니다. 3 (작음) → 22/7 (큼) → 333/106 (작음) → 355/113 (큼).
다음 수가 클수록 그 앞의 근사가 좋습니다. π의 연분수에서 292 라는 큰 수가 나오기 때문에 바로 앞의 이 그토록 정확한 것입니다.
풀어 보기
떼고 뒤집기.
(1) 를 연분수로 펼치고 분수로 되돌리시오.
(2) 의 수렴분수 의 오차를 견주고, 이 유난히 좋은 까닭을 쓰시오.
(3) 황금비의 연분수가 임을 이용해, 수렴분수가 피보나치 수의 비가 됨을 보이시오.
답과 풀이 보기
(1) · .
2를 떼면 0.75 → 뒤집으면 .
1을 떼면 → 뒤집으면 3. 3을 떼면 0, 끝.
쌓으면 . 맞습니다.
(2) 오차는 차례로 약 0.142, 0.00126, 0.0000832, 0.000000267.
에서 오차가 갑자기 300배 넘게 좋아집니다.
까닭은 π의 연분수가 이고 다음 수가 292로 아주 크기 때문입니다.
⭐ 다음 항이 클수록 그 앞에서 끊은 근사가 좋습니다. 292는 「거의 딱 맞아서 더 보탤 것이 거의 없다」는 뜻입니다.
(3) 을 아래에서부터 쌓아 보면
분자와 분모가 모두 피보나치 수이고, 이웃한 두 개의 비입니다.
까닭은 쌓는 규칙이 이라, 분수로 적으면 분자와 분모가 각각 앞의 둘을 더한 것이 되기 때문입니다.
⭐ 검산 : , .
더 멀리
「가장 간단하면서 가장 가까운 비」가 필요한 곳은 뜻밖에 많습니다.
- 윤년 — 한 해가 365.2422일이라 로 맞춥니다. 연분수가 고른 비입니다
- 톱니바퀴 — 두 축의 회전비를 정수 잇수로 맞출 때 씁니다
- 조율 — 제45장 의 「한 바퀴가 안 닫히는」 문제도 결국 좋은 근사비를 고르는 일입니다
영감을 받은 곳
조충지(祖沖之)의 밀률 는 5세기 중국의 기록이며, 그의 저서 『철술』이 전해지지 않는다는 것도 사서에 남아 있습니다. 연분수의 체계는 오일러 『무한 해석 입문』(1748)과 라그랑주의 이차 무리수 정리(1770)에 기대고 있습니다. 공개된 수학 사실이며, 계단·문항·그림은 우리가 지었습니다.