구점원
아홉 점을 지나는 하나의 동그라미
삼각형을 그리고 세 변의 중점 셋, 꼭짓점에서 내린 수선의 발 셋, 수심과 세 꼭짓점을 잇는 선분의 중점 셋을 찾아 점을 찍으세요.
서로 제멋대로 흩어져 있는 것 같은 아홉 개의 점 위에 컴퍼스를 대어 보세요. 성격도 위치도 완전히 다른 아홉 점이 왜 오차 하나 없이 단 하나의 원 위에 나란히 올라앉을까요?
이야기
미상
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1821년 파리, 퐁슬레와 브리앙숑이 이 원을 발표합니다. 퐁슬레는 나폴레옹의 러시아 원정에 공병 장교로 갔다가 포로가 되어, 사라토프의 감옥에서 책 한 권 없이 기억만으로 기하를 다시 세운 사람이었습니다.
이듬해 스물두 살의 포이어바흐가 여기에 한 줄을 더합니다. 이 원이 내접원에 정확히 닿는다는 것이었습니다.
그런데 정작 이름은 갈렸습니다. 프랑스에서는 「오일러의 원」, 독일에서는 「포이어바흐의 원」이라 부릅니다. 오일러도 포이어바흐도 처음 찾은 사람이 아닌데 말입니다.
아홉 점이 한 원에 모이는 까닭은 절반으로 줄이기에 있습니다. 수심을 중심으로 삼아 삼각형을 꼭 절반으로 줄여 보십시오. 세 꼭짓점은 「수심과 꼭짓점을 잇는 선분의 중점」으로 갑니다. 그리고 삼각형을 감싸던 외접원도 함께 절반으로 줄어듭니다.
그렇게 줄어든 원이 바로 구점원입니다. 그래서 반지름이 외접원의 정확히 절반이고, 나머지 여섯 점도 같은 축소로 이 원 위에 실립니다.
바로 쓰이는 곳은 없습니다. 아홉 점이 한 원 위에 있다는, 순수한 놀라움입니다.
이 장이 오늘 하는 일은 「삼각형에도 아직 발견되지 않은 것이 남아 있다」는 사실을 보여 주는 것입니다. 가장 오래 본 도형에서도 새 것이 나옵니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
세 중점을 지나는 원을 그린다
삼각형의 세 변의 가운데 점 세 개를 찍어 봅니다. 이 세 점을 지나는 원을 컴퍼스로 하나 그립니다.
그런 다음 세 꼭짓점에서 마주 보는 변으로 똑바로 내린 수선의 발 세 개를 찾아보세요. 놀랍게도 그 점들도 방금 그린 원 위에 정확하게 얹혀 있습니다.
아홉 점이 한 원 위에
반지름은 언제나 외접원의 절반입니다.
아홉 점을 찍어 원을 그려 본다
삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래 삼각형과 닮은꼴인 절반 크기의 중점삼각형이 생깁니다. 이 중점삼각형의 외접원이 바로 구점원입니다.
수선의 발들이 이 원 위에 놓이는 까닭은 지름에 대한 원주각이 90도(직각)라는 원의 성질 때문입니다. 직각삼각형의 빗변 중점이 외심이 되는 성질이 톱니바퀴처럼 맞물려 아홉 점을 한 원에 엮어 냅니다.
세 무리로 나눠 보세요
서로 아무 상관 없어 보이는 세 무리가 한 원 위에 있습니다.
닮음변환으로 증명
삼각형 ABC의 외심을 , 수심을 , 무게중심을 라 합시다. 무게중심 는 수심 를 중심으로 외접원을 배 축소하는 닮음변환의 중심 역할을 수행합니다.
이 닮음변환에 의해 외접원의 반지름 은 정확히 절반인 로 줄어들고, 구점원의 중심 은 선분 OH의 정확한 중점에 위치하게 됩니다. 오일러 직선 위에서 가 완벽한 조화를 이룹니다.
포이어바흐 정리
「기하학에서 가장 아름다운 정리」라 불립니다.
오일러 선과 만나는 자리
구점원은 포이어바흐 정리(Feuerbach's Theorem)를 통해 내접원 및 세 방접원 모두와 동시에 접한다는 기하학적 극치에 도달합니다. 반전기하학과 포이어바흐 점의 대수적 구조는 현대 유클리드 기하학의 꽃입니다.
삼각형 중심의 대수적 목록(ETC)에서 외심, 수심, 구점원심 사이의 결합 관계는 삼차원 공간의 다면체 대칭성과 컴퓨터 기하 알고리즘의 보로노이 다이어그램 분석에 강력한 직관을 제공합니다.
오일러 선 위의 네 점
네 점이 정해진 비로 늘어섭니다.
풀어 보기
구점원의 성질과 오일러 선. 삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 , 외심을 , 수심을 라 하자.
(1) 구점원을 지나는 아홉 점의 종류 세 가지를 각각 쓰시오.
(2) 이 삼각형의 구점원의 반지름의 길이를 구하시오.
(3) 선분 OH의 길이가 12일 때, 구점원의 중심 N과 수심 H 사이의 거리 및 무게중심 G에 의해 분할되는 비 를 구하시오.
(2) 입니다. (3) N은 OH의 중점이므로 NH=6이고, 무게중심은 오일러선을 2:1로 내분하므로 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 세 가지 세 점씩입니다.
· 세 변의 중점 3 개
· 세 수선의 발 (각 꼭짓점에서 마주 보는 변에 내린 수선의 발) 3 개
· 각 꼭짓점과 수심 H 를 잇는 선분의 중점 (오일러 점) 3 개
합해서 아홉 점이 한 원 위에 있습니다.
(2) 입니다.
구점원의 반지름은 언제나 외접원의 절반입니다 — 삼각형 모양과 무관합니다.
(3) · 입니다.
· N 은 의 중점이므로
· 무게중심 G 는 오일러 선을 로 나누므로, H 쪽에서 읽으면
확인 : — 합이 12 로 맞습니다.
⭐ 그러므로 O · G · N · H 는 자리에 정해진 비로 늘어섭니다.
아무 삼각형이나 그려도 서로 아무 관계 없어 보이는 아홉 점이 정확히 한 원 위에 놓입니다.
1821 년 퐁슬레와 브리앙숑이 찾았고, 페어바흐가 여기에 하나를 더 얹었습니다 — 구점원은 내접원과 정확히 한 점에서 접합니다. 그리고 세 방접원과도 각각 접합니다.
삼각형 하나에 이렇게 많은 질서가 숨어 있는데, 우리는 아직도 다 못 찾았습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
삼각형은 아직도 놀라움이 남아 있는 도형입니다.
- 오일러 선 — 구점원의 중심이 그 위에 있습니다
- 포이어바흐 점 — 구점원과 내접원이 닿는 점입니다
- 직접 그리기 — 아홉 점을 찍고 컴퍼스를 대어 보세요
이어지는 장
삼각형의 외심, 무게중심, 수심이 반듯하게 늘어선 직선의 한가운데에 아홉 점의 중심이 놓입니다 — 제103장 의 오일러 선 위에서 아홉 점의 기적과 완벽하게 만납니다.
영감을 받은 곳
카를 빌헬름 포이어바흐(Karl Wilhelm Feuerbach)가 1822년에 펴낸 저서 『삼각형의 특별한 점들의 성질』에 실렸으며, 1765년 오일러의 연구를 이어받아 완성되었습니다.