취한 사람의 걸음
동전을 던지며 한 걸음씩 걸어 보세요
동전을 던져 앞면이 나오면 앞으로 한 걸음, 뒷면이 나오면 뒤로 한 걸음 걷는 놀이를 백 번 되풀이합니다.
앞뒤가 똑같이 반반 확률로 나오는데 백 걸음을 걷고 나면 왜 출발점에서 멀리 떨어진 곳에 서 있을까요? 그리고 무한히 걷는다면 출발점으로 언젠가 반드시 돌아올 수 있을까요?
이야기
Oren Jack Turner
Public domain · 위키미디어 공용
동전을 던져 앞면이면 오른쪽, 뒷면이면 왼쪽으로 한 걸음 갑니다. 이것을 되풀이하면 어디쯤 가 있을까요?
제자리 근처일 것 같지만, 놀랍게도 점점 멀어집니다. n걸음 뒤 출발점에서의 거리는 평균 쯤입니다. 백 걸음이면 열 걸음쯤 떨어져 있습니다.
그런데 돌아올까요? 1차원에서는 반드시 돌아옵니다. 언젠가는 출발점을 다시 밟습니다. 2차원 평면에서도 그렇습니다.
그런데 3차원에서는 다릅니다. 돌아올 확률이 약 34%밖에 안 됩니다. 위아래로도 갈 수 있으니 길을 잃기 쉽습니다.
수학자 시즈오 카쿠타니가 이것을 이렇게 말했다고 전해집니다. “술 취한 사람은 집에 돌아오지만, 술 취한 새는 영영 못 돌아온다.”
차원 하나가 늘었을 뿐인데 운명이 갈립니다.
n걸음 뒤 원점에서 떨어진 거리가 √n쯤 되는 까닭은 좌우가 서로 지워지기 때문입니다. 오른쪽과 왼쪽이 거의 같은 횟수로 나오니 그냥 더하면 0에 가깝습니다. 그런데 제곱해서 더하면 부호가 사라져 지워지지 않고 쌓입니다.
🚩 차원에 따라 답이 갈리는 것도 재미있습니다. 1차원과 2차원에서는 언젠가 반드시 제자리로 돌아옵니다. 그런데 3차원에서는 영영 못 돌아올 수 있습니다. 그래서 「취한 사람은 집에 돌아오지만 취한 새는 못 돌아온다」는 말이 생겼습니다.
주가 모형과 물질의 확산이 이것입니다. 아인슈타인이 꽃가루의 흔들림으로 원자의 존재를 증명한 것도 이 계산이었습니다.
잉크가 물에 퍼지는 속도, 반도체 속 전자의 이동, 인공지능이 답을 찾아가는 방식에 같은 수학이 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
동전을 던져 앞뒤로 걸어 본다
바둑판 위 원점에서 동전을 던집니다. 앞면이면 오른쪽, 뒷면이면 왼쪽으로 갑니다. 10번 던지면 10칸 멀어질 것 같지만 실제로는 2~3칸 언저리를 맴돕니다.
앞뒤가 서로 상쇄되기 때문입니다. 100번을 던져도 멀어지는 평균 거리는 100이 아니라 100의 제곱근인 딱 10걸음 안팎입니다.
한 걸음씩 걸어 보세요
√n — 걸음이 100 배면 거리는 10 배뿐입니다.
거리가 √n 로 늘어나는 것
매 걸음 이동량을 (각 확률 1/2)이라 하면 기댓값은 입니다. 따라서 평균 위치는 0입니다.
하지만 원점으로부터 떨어진 거리의 제곱의 기댓값은 이 됩니다. 따라서 평균적인 이동 거리는 걸음 수 이 아니라 에 비례하여 천천히 증가합니다.
돌아올 수 있을까요
3차원부터는 34% 뿐 — 「취한 사람은 집에 오지만 취한 새는 못 온다」.
재귀성
1921년 게오르크 폴리아는 놀라운 폴리아의 정리(Pólya's Recurrence Theorem)를 증명했습니다.
1차원과 2차원 격자 위의 무작위 걸음은 확률 1(100%)로 출발점에 되돌아오는 재귀적(Recurrent) 성질을 가집니다. 그러나 3차원 공간에서는 되돌아올 확률이 약 34%로 뚝 떨어지며 영원히 우주 속으로 헤매는 비재귀적(Transient) 성질을 보입니다.
퍼짐을 재 보세요
그래서 큰 방에 냄새가 퍼지는 데 아주 오래 걸립니다.
브라운 운동
무작위 걸음의 시간과 공간 간격을 0으로 극한을 취하면 연속 확률과정인 위너 과정(Wiener Process)이자 브라운 운동(Brownian Motion)이 됩니다.
아인슈타인의 꽃가루 확산 방정식, 금융공학의 주가 변동을 모델링하는 블랙-숄즈 방정식(Black-Scholes Model), 그리고 통계물리학의 고분자 사슬 구조 분석의 절대적 기반 이론입니다.
브라운 운동
꽃가루가 떠는 것을 보고 보이지 않는 원자를 증명한 것입니다.
풀어 보기
1차원 무작위 걸음(Random Walk). 동전을 던져 앞면이면 , 뒷면이면 만큼 이동한다.
(1) 4번 던졌을 때 정확히 출발점(위치 0)에 있을 확률을 구하시오.
(2) 10000 걸음을 걸었을 때 원점으로부터의 평균적인 이동 거리 의 값을 구하시오.
(3) 폴리아의 정리에 따라 무한히 걸었을 때 출발점으로 돌아올 확률이 1인 차원을 1, 2, 3차원 중에서 모두 고르시오.
(1) , (2) 100, (3) 1차원과 2차원입니다.
답과 풀이 보기
(1) (37.5%) 입니다.
제자리에 있으려면 앞면 두 번, 뒷면 두 번이어야 하고, 그 순서를 고르는 방법이 가지입니다.
⛔ 홀수 번 던지면 제자리에 올 확률은 0 입니다 — 짝이 안 맞습니다.
(2) 걸음입니다.
만 걸음을 걸었는데 백 걸음 거리밖에 못 갑니다 — 1% 뿐입니다.
⭐ 거리를 두 배로 늘리려면 걸음을 네 배로 걸어야 합니다. 잉크가 물에 퍼지는 속도, 향기가 방을 채우는 속도가 모두 이 입니다.
(3) 1 차원과 2 차원입니다.
· 1 차원 (직선) — 돌아올 확률 1
· 2 차원 (평면) — 돌아올 확률 1
· 3 차원 (공간) — 약 0.34 · 곧 세 번에 두 번은 영영 못 돌아옵니다
차원이 하나 늘자 도망칠 길이 갑자기 많아지기 때문입니다.
1921 년 폴리아가 증명했습니다. 카쿠타니는 이렇게 옮겼습니다 —
「술 취한 사람은 집에 돌아오지만, 술 취한 새는 영영 길을 잃는다.」
땅 위를 헤매는 사람은 언젠가 반드시 집 앞을 지납니다. 하늘을 나는 새에게는 그 보장이 없습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
무작위 걸음은 세상 곳곳의 모형입니다.
- 브라운 운동 — 물속 꽃가루의 움직임이 이것입니다. 아인슈타인이 설명했습니다
- 주가 모형 — 금융에서 널리 쓰이는 기본 모형입니다
- 확산 — 잉크가 물에 퍼지는 것도 같은 수학입니다
이어지는 장
무작위로 갈라지는 발걸음이 반복되어 쌓일 때 한가운데로 봉긋하게 솟아오르는 분포는, 구슬이 핀 사이를 튕겨 떨어지며 필연적인 종 모양을 쌓는 골턴 보드와 완전히 같은 이치입니다 — 제53장 에서 우연이 빚어내는 대칭의 아름다움을 만나보세요.
영감을 받은 곳
포여 죄르지(George Pólya)가 1921년 《수학연보》(Mathematische Annalen)에 발표한 논문 「Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Straßennetz」에서 격자 위 무작위 행보의 재귀성을 증명했습니다.