정육면체를 자르면
네모를 잘랐는데 육각형이 나옵니다
찰흙으로 반듯한 정육면체 주사위를 하나 빚고, 칼로 단 한 번 반듯하게 잘라 단면을 들여다보세요. 삼각형, 사각형은 쉽게 나옵니다.
그런데 칼의 각도를 절묘하게 기울이면 완벽한 정육각형 단면이 튀어나옵니다. 정육면체의 여섯 면을 평면 하나가 어떻게 지나가길래 이런 일이 생길까요? 3차원을 자르면 어떤 모양들이 숨어 있을까요?
이야기
정육면체를 꼭짓점 쪽에서 똑바로 바라보면 윤곽이 정육각형이 됩니다. 화가들은 이것을 오래전부터 알았습니다. 육각형을 그리고 안에 선 세 개만 그으면 그 자리에 상자가 떠오릅니다. 자르지 않고도 육각형이 보이는 것입니다.
그런데 이 상자를 아무리 요리조리 잘라도 나올 수 없는 것이 있습니다. 칠각형입니다. 여섯각형까지는 나오는데 일곱각형은 절대 안 나옵니다.
까닭은 셈해 보면 훤합니다. 단면의 변 하나는 잘린 면 하나에서 나옵니다. 칼이 어떤 면을 지나가면 그 면에 자국이 하나 생기고, 그것이 단면의 변이 됩니다.
그런데 정육면체에는 면이 여섯뿐입니다. 한 면을 두 번 자를 수는 없으므로, 변은 많아야 여섯입니다. 그래서 칠각형은 원리적으로 불가능합니다.
정육각형이 나오려면 여섯 면을 모두 지나가야 하고, 마주 보는 면끼리는 나란하므로 그 자국들도 서로 나란해집니다. 대각선 방향으로 정확히 자를 때 여섯 변의 길이까지 같아져 정육각형이 됩니다.
그들은 이것을 「등축 그림법」이라 부르며 설계도와 그림에 썼습니다. 정육면체를 꼭짓점 쪽에서 본 이 그림은 앞뒤가 뒤집혀 보이기도 해서, 보는 사람마다 다른 상자를 보게 됩니다. 착시 그림으로 유명한 「네커 큐브」가 바로 이것입니다.
CT가 몸을 보는 방식입니다. 단면 여러 장으로 전체 모양을 되살립니다.
3D 프린터가 층층이 쌓는 것, 지질 조사에서 시추 단면으로 지층을 그리는 것도 같은 일입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
찰흙 정육면체를 잘라 본다
찰흙 정육면체를 실이나 플라스틱 칼로 비스듬히 잘라 단면의 모서리 개수를 세어 봅니다. 꼭짓점을 스치면 삼각형, 면과 평행하면 사각형, 모서리들을 비스듬히 지나면 오각형이 나옵니다.
각 모서리의 정가운데 중점 여섯 개를 지나도록 칼질을 하면 변의 길이가 모두 같은 반듯한 육각형이 나타나는 것을 직접 손으로 확인해 보세요.
정육면체를 잘라 보세요
육각형이 가장 많은 변입니다 — 면이 여섯이니까요.
단면 모양을 다 찾아보기
평면과 입체가 만나서 생기는 교선(단면의 둘레)은 입체의 면 하나당 최대 하나의 선분만 만듭니다. 정육면체는 면이 6개이므로 단면 다각형의 변의 개수는 최대 6개입니다.
따라서 칠각형이나 팔각형 단면은 절대 나올 수 없습니다. 삼각형(정삼각형·이등변·부등변), 사각형(정사각형·직사각형·사다리꼴·평행사변형), 오각형, 육각형까지 3각형부터 6각형까지 모든 단면을 만들어낼 수 있습니다.
정육각형이 나옵니다
그 육각형의 한 변은 s√2/2 입니다.
평면과 입체의 교선
3차원 공간 좌표계에서 정육면체를 으로 둘 때, 자르는 평면의 방정식 는 6개의 모서리 중점 을 정확히 지나며 정육각형을 만듭니다.
단면의 형상은 평면의 법선 벡터와 정육면체의 대칭축 사이의 각도에 의해 결정되며, 벡터의 내적과 공간도형의 사영(Projection) 이론으로 면적과 둘레를 정확히 해석할 수 있습니다.
가장 넓은 단면
면과 나란히 자르면 s² — 41% 차이입니다.
고차원 단면
입체를 평면으로 자르는 문제는 고차원 기하학에서 단면 단면체(Cross-Section Polytope) 분석의 기초입니다. 4차원 초정육면체(Tesseract)를 3차원 공간으로 자르면 정팔면체나 절두사면체 등 환상적인 3차원 입체들이 나타납니다.
현대 의학의 CT(컴퓨터 단층촬영)와 MRI는 인체를 무수히 많은 2차원 평면 단면으로 잘라 촬영한 뒤 3차원 영상으로 완벽히 복원하는 라돈 변환(Radon Transform)의 원리를 기반으로 작동합니다.
4 차원 정육면체를 자르면
그 가운데 정팔면체도 나옵니다 — 3 차원에서 육각형이 나온 것과 같은 이치입니다.
풀어 보기
정육면체의 단면. 한 변의 길이가 2인 정육면체를 평면으로 자른다.
(1) 정육면체를 평면으로 잘라 만들 수 있는 단면 다각형의 변의 개수로 가능한 숫자를 모두 쓰시오.
(2) 한 꼭짓점에서 만나는 세 모서리의 중점을 지나는 평면으로 자를 때 생기는 단면 삼각형의 세 변의 길이를 구하시오.
(3) 정육면체의 이웃한 6개 모서리의 중점을 지나도록 잘라 만든 정육각형 단면의 한 변의 길이와 넓이를 구하시오.
(3) 모서리 중점 사이의 거리는 이므로 정육각형 넓이는 입니다.
답과 풀이 보기
(1) 3, 4, 5, 6 뿐입니다.
단면의 변 하나는 정육면체의 면 하나를 지날 때 생깁니다. 면이 여섯 개뿐이므로 변도 여섯 개를 넘을 수 없습니다.
· 3 — 한 꼭짓점을 비스듬히 자를 때 · 4 — 곧게 자를 때
· 5 — 다섯 면을 지나게 기울일 때 · 6 — 대각선 방향으로 마주 보는 여섯 모서리를 지날 때
(2) 세 변이 모두 인 정삼각형입니다.
한 변이 2 이므로 꼭짓점에서 중점까지는 1 이고, 두 중점 사이는
입니다.
세 방향이 모두 똑같으므로 정삼각형이 됩니다.
(3) 한 변 · 넓이 입니다.
이웃한 모서리의 중점끼리도 마찬가지로 떨어져 있습니다.
한 변이 인 정육각형의 넓이는 이므로
.
귀퉁이가 여섯 개인 정육각형이 정육면체 속에 숨어 있습니다. 육각형이 되도록 자른 단면을 옆에서 보면 완벽한 벌집 모양입니다. 각진 상자 안에 둥근 것에 가장 가까운 다각형이 들어 있는 셈입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
단면으로 입체를 아는 것은 실제 기술입니다.
- CT 촬영 — 몸의 단면들로 입체를 되살립니다
- 지질 조사 — 땅속을 자른 단면으로 지층을 읽습니다
- 4차원 상상 — 4차원 물체가 우리 공간을 지날 때 단면이 어떻게 변할지 생각해 볼 수 있습니다
이어지는 장
정육면체를 단 한 번 반듯하게 잘라 정육각형 단면을 찾아내는 공간적 상상력은, 3차원 공간을 넘어 4차원 초입방체의 단면과 그림자를 마음의 눈으로 그려보는 제39장 으로 나아가는 훌륭한 디딤돌이 됩니다.
영감을 받은 곳
3차원 유클리드 기하학의 공간 절단 정리에서 온 사실로, 정육면체의 대변 중점 6개를 지나는 평면으로 자를 때 완벽한 정육각형 단면이 나타난다는 것은 19세기 입체기하학 고전 문헌에 널리 수록되어 있습니다.