원이 만드는 물결
돌아가는 원에서 파도가 나옵니다
자전거 바퀴 테두리에 스티커를 하나 붙이고, 바퀴를 제자리에서 천천히 돌립니다. 그리고 옆에서 눈높이로 바라보세요.
스티커가 위아래로 오르내리는 것만 보입니다. 그 오르내림을 시간에 따라 그리면 매끄러운 물결이 됩니다. 둥근 것을 옆에서 봤을 뿐인데 파도가 나온 것입니다.
이야기
기원전 2세기 로도스섬의 히파르코스가 최초의 삼각함수표를 만들었다고 전해집니다. 다만 그가 만든 것은 사인이 아니라 현(弦)의 표였습니다 — 원에서 두 점을 이은 선분의 길이입니다. 제131장 의 톨레미가 이어받은 그 표입니다.
그런데 「사인」이라는 이름은 아주 이상한 길을 거쳐 왔습니다. 인도에서 이 값을 「반현」이라는 뜻의 ardha-jya, 줄여서 jya 라 불렀습니다. 아라비아 학자들이 그것을 소리대로 jiba 로 옮겨 적었는데, 아랍 글자는 모음을 안 적기 때문에 jb 만 남았습니다.
훗날 라틴어로 옮기던 사람이 그 jb 를 아랍말 jaib(품·후미)로 읽고 sinus(굽은 품)라 옮겼습니다. 그것이 sine 이 되었습니다. 번역이 한 번 잘못된 것이 천 년 동안 이름으로 굳은 것입니다.
왜 원에서 물결이 나올까요. 원 위의 점은 가로와 세로 두 값을 갖습니다. 돌아갈 때 그 둘이 함께 변합니다.
옆에서 보면 세로만 보입니다. 그 세로값이 각에 따라 어떻게 변하는지를 그린 것이 사인 곡선이고, 위에서 내려다보아 가로값을 그린 것이 코사인 곡선입니다. 같은 원을 두 방향에서 본 그림자입니다.
소리, 빛, 전기, 지진, 라디오 전파, 심장 박동 — 흔들리는 것은 모두 이 곡선으로 적습니다. 음악을 파일로 담고, 사진을 압축하고, 휴대전화가 전파를 실어 나르는 일이 다 여기서 나옵니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
바퀴에 점을 찍고 옆에서 본다
두꺼운 종이를 동그랗게 오려 가운데에 핀을 꽂고, 테두리에 점을 하나 찍습니다. 이제 원을 천천히 돌리면서 그 점이 얼마나 높이 있는지를 자로 재어 적어 보세요.
맨 오른쪽에서는 0, 꼭대기에서는 가장 높고, 왼쪽에서 다시 0, 아래에서 가장 낮습니다.
잰 값을 가로로 죽 늘어놓아 점을 찍고 이으면 물결이 그려집니다. 원을 돌린 것뿐인데 파도가 나옵니다.
직각삼각형의 세 비
직각삼각형에서 한 예각을 잡으면 세 변의 비가 정해집니다.
사인 = 마주 보는 변 ÷ 빗변
코사인 = 붙어 있는 변 ÷ 빗변
탄젠트 = 마주 보는 변 ÷ 붙어 있는 변
삼각형을 크게 그리든 작게 그리든 비는 그대로입니다. 닮음이기 때문입니다. 그래서 각만 알면 비를 알 수 있고, 비를 알면 재지 않고도 길이를 구할 수 있습니다.
단위원과 라디안 — 각이 길이가 된다
반지름이 1인 단위원을 그리고, 가로축에서 각 만큼 돌린 점을 잡습니다. 그 점의 좌표가 바로 입니다.
피타고라스 정리를 그대로 쓰면 — 가장 많이 쓰는 항등식이 원의 방정식일 뿐입니다.
각을 라디안으로 재면 더 깔끔해집니다. 반지름이 1일 때 호의 길이를 그대로 각으로 삼는 것입니다. 한 바퀴가 이고, 그래야 미분했을 때 가 군더더기 없이 나옵니다.
모든 파동을 사인으로 쪼갠다
푸리에가 1807년에 놀라운 주장을 합니다. 「어떤 되풀이되는 신호든 사인들의 합으로 적을 수 있다」.
당대의 라그랑주는 믿지 않았고 논문 게재를 막았습니다. 각진 톱니 모양이 매끄러운 사인의 합이 된다는 것이 받아들여지지 않았기 때문입니다. 그러나 옳았습니다.
그리고 제147장 의 식이 여기서 다시 나옵니다. — 돌기와 사인·코사인이 같은 것이라는 말입니다. 오늘 음악·사진·통신의 압축이 모두 이 위에 서 있습니다.
풀어 보기
원과 삼각비.
(1) 한 각이 30도인 직각삼각형에서 빗변이 10일 때 마주 보는 변과 붙어 있는 변의 길이를 구하시오.
(2) 이 왜 성립하는지 단위원으로 설명하시오.
(3) 어떤 지점에서 나무 꼭대기를 올려다본 각이 30도이고, 나무까지의 거리가 20m 다. 눈높이를 1.6m 로 볼 때 나무의 높이를 구하시오. ()
답과 풀이 보기
(1) 마주 보는 변 5, 붙어 있는 변 .
이므로 마주 보는 변은 .
이므로 붙어 있는 변은 .
⭐ 검산 : .
(2) 단위원 위의 점은 이고, 그 점에서 중심까지의 거리가 반지름 1입니다.
피타고라스 정리로 .
⭐ 그러니 이 식은 새로운 정리가 아니라 「원 위에 있다」를 다시 쓴 것입니다.
(3) 약 13.1m 입니다.
눈높이에서 꼭대기까지의 높이는 (m).
여기에 눈높이 1.6m 를 더하면 13.14m.
⭐ 자를 대지 않고 각 하나와 거리 하나로 높이를 잰 것입니다. 제11장 에서 지구를 잰 것과 같은 손놀림입니다.
더 멀리
흔들리는 것은 모두 이 곡선으로 적습니다.
- 소리 — 순수한 음 하나는 사인 곡선입니다. 악기 소리는 그 사인들이 겹친 것이고, 겹치는 비율이 음색이 됩니다
- 교류 전기 — 콘센트에 오는 전기가 1초에 60번 사인으로 흔들립니다
- 압축 — 사진과 음악 파일은 신호를 사인으로 쪼갠 뒤 귀와 눈이 잘 못 느끼는 것부터 버립니다
이어지는 장
영감을 받은 곳
히파르코스의 현표(기원전 2세기)와 프톨레마이오스 『알마게스트』, 인도 『수리야 싯단타』의 jya, 그리고 「sine」이 오역에서 왔다는 것은 수학사에서 널리 소개되는 내용입니다. 조제프 푸리에 『열의 해석적 이론』(1822)과 오일러의 공식(1748)에 기대고 있습니다. 공개된 수학 사실이며, 계단·문항·그림은 우리가 지었습니다.