나눗셈 판정법
끝자리만 보고 배수 맞히기
아무리 긴 숫자라도 끝자리가 짝수이면 2의 배수이고, 끝자리가 0이나 5이면 5의 배수라는 것은 누구나 압니다.
그런데 가 3의 배수인지 아닌지는 끝자리 2만 봐서는 알 수 없습니다. 왜 3과 9의 배수는 끝자리가 아니라 모든 자리 숫자를 다 더해야만 판정할 수 있을까요?
이야기
이 판정법들은 자리값이 있는 숫자에서만 됩니다. 로마 숫자로는 아예 불가능합니다. MMXXVI를 보고 3의 배수인지 알 방법이 없습니다. 그래서 이 규칙들은 아라비아 숫자와 함께 들어왔고, 1202년 피보나치의 『산반서』에도 실려 있습니다.
그런데 7의 배수만은 사정이 다릅니다. 판정법이 있기는 합니다. 「끝자리를 떼어 두 배 하고 나머지에서 빼라」는 것입니다. 그러나 이것은 그냥 7로 나눠 보는 것보다 번거롭습니다. 그래서 아무도 쓰지 않습니다. 규칙이 있다고 다 쓸모 있는 것은 아닙니다.
3과 9가 자릿수의 합으로 되는 까닭은 이렇습니다. 10도, 100도, 1000도 9로 나누면 1이 남습니다. 그러니 자리값이 나머지 셈에서는 모두 1이 되고, 숫자를 그냥 더한 것과 나머지가 같아집니다. 9로 되면 그 약수인 3으로도 됩니다.
4는 다릅니다. 100이 4로 딱 나누어떨어지기 때문에 백의 자리 위쪽은 통째로 무시해도 됩니다. 그래서 끝 두 자리만 봅니다. 8은 1000이 나누어떨어지니 끝 세 자리입니다.
⭐ 11은 더 재미있습니다. 10을 11로 나누면 −1이 남는 셈이라, 자리를 번갈아 더하고 빼면 됩니다.
암산으로 오류를 잡는 힘입니다. 계산기 없이도 「이 수가 3으로 나눠지나」를 한눈에 압니다.
그 원리(자릿수의 합을 본다)가 곧 시계 산수이고, 컴퓨터가 나머지를 빠르게 구하는 방법과 같습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
큰 수를 보고 3의 배수인지 맞힌다
의 자릿수를 더하면 입니다. 6이 3의 배수이므로 123도 3의 배수입니다.
4의 배수는 끝의 두 자리가 00이거나 4의 배수이면 됩니다. 각 자리 숫자를 묶고 쪼개는 손쉬운 규칙만 익히면 큰 나눗셈을 직접 하지 않고도 배수를 번개처럼 알아맞힐 수 있습니다.
끝자리만 보면 됩니다
10 = 2×5 이니 앞자리는 이미 2 로도 5 로도 나뉘기 때문입니다.
왜 그런지 자리값으로
10은 , 100은 , 1000은 입니다. 9, 99, 999는 모두 3과 9의 배수입니다.
어떤 수 로 묶으면, 앞부분은 무조건 3과 9의 배수이므로 뒤에 남은 각 자리 숫자의 합 만 확인하면 되는 완벽한 까닭이 드러납니다.
3 과 9 는 자릿수의 합
그래서 자릿수를 그냥 더하면 됩니다.
합동식으로 한꺼번에 증명
진법과 모듈러 연산으로 모든 배수 판정법을 하나로 통합할 수 있습니다.
이므로 자릿수 합 판정법이 성립하고, 이므로 마지막 1자리, 이므로 마지막 2자리로 판정됩니다. 7의 배수는 임을 이용해 3자리씩 끊어 교대합으로 판정합니다.
7 로 나뉘는지 보세요
1073 → 107−6 = 101 → 10−2 = 8. 8 은 7 로 안 나뉘니 1073 도 아닙니다.
7의 판정법
일반적인 진법에서 수 의 배수 판정법은 밑수 의 멱승이 에서 이루는 순환군(주기)의 구조에 의해 완전히 결정됩니다.
이는 순환소수의 주기 길이 계산 및 원시근(Primitive root), 이산 로그 문제와 직결되는 수론의 기초적 동역학 체계입니다.
어떤 밑에서든 판정법을 만들 수 있습니다
d = 7 은 둘 다 아니라 규칙이 복잡합니다 — 그래서 7 이 어려운 것입니다.
풀어 보기
배수 판정법의 원리와 응용. 다음 물음에 답하시오.
(1) 다섯 자리 수 가 9의 배수가 되도록 하는 한 자리 숫자 의 값을 구하시오.
(2) 임을 이용하여, 여섯 자리 수 을 세 자리씩 끊은 차 로 7의 배수인지 판정하시오.
(3) 어떤 자연수가 4의 배수인지 판정할 때 왜 끝의 두 자리만 보면 충분한지 십진법 전개식으로 증명하시오.
(3) 은 가 4의 배수라는 점을 이용하세요.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
자리 숫자의 합은 이고, 이것이 9 의 배수여야 하므로 .
( 는 한 자리라 는 14 에서 23 사이 — 그 안의 9 의 배수는 18 하나뿐입니다.)
확인 : .
(2) 7 의 배수입니다.
이므로 도 7 의 배수입니다.
확인 : .
⭐ 까닭 — 이므로
.
(3) 어떤 자연수를 끝 두 자리와 나머지로 가릅니다.
(여기서 는 끝 두 자리)
이므로 는 언제나 4 의 배수입니다.
그러므로 이 4 의 배수인지는 오직 에만 달려 있습니다.
⭐ 같은 이치로 8 은 이라 끝 세 자리만 보면 됩니다.
배수 판정법은 외우는 요령이 아니라 · · 라는 한 줄의 사실에서 나옵니다.
밑 10 이 그 수와 어떻게 만나는지만 보면 판정법이 저절로 만들어집니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
판정법은 모두 「나머지」의 성질에서 나옵니다.
- 암산 — 큰 수를 다루기 전에 배수인지부터 봅니다
- 약분 — 분자·분모의 공약수를 빨리 찾습니다
- 검산 — 구거법이 3과 9 판정법의 확장입니다
이어지는 장
영감을 받은 곳
12세기 인도 수학자 바스카라 2세(Bhāskara II)의 『릴라바티(Līlāvatī)』와 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)이 1654년 논문 「De numeris multiplicibus」에서 10진법 거듭제곱의 나머지를 체계화한 일반 배수 판정법에서 왔습니다.