낙타 열일곱 마리
낙타 한 마리를 빌려옵니다
낙타 17마리를 세 아들에게 씩 나누어 주어야 합니다. 17은 2로도 3으로도 9로도 나누어떨어지지 않습니다.
지혜로운 노인이 낙타 한 마리를 빌려주자 모든 문제가 말끔히 풀립니다. 남의 낙타를 보탰다가 되돌려주었는데 왜 나눗셈이 딱 맞아떨어졌을까요?
이야기
노인이 낙타 열일곱 마리를 남기고 세상을 떠나며 유언을 남겼습니다. 맏아들에게 , 둘째에게 , 막내에게 을 주라는 것이었습니다.
그런데 열일곱은 2로도 3으로도 9로도 나누어떨어지지 않습니다. 낙타를 자를 수도 없습니다. 형제들이 다투고 있는데 지혜로운 노인이 지나가다 말했습니다. “내 낙타 한 마리를 빌려주겠소.”
열여덟 마리가 되었습니다. 맏아들이 9마리, 둘째가 6마리, 막내가 2마리 — 모두 17마리입니다. 남은 한 마리를 노인이 도로 타고 갔습니다.
속임수 같지만 셈을 보면 알 수 있습니다. — 1이 아닙니다. 애초에 유언이 전부를 나누지 않았던 것입니다.
이야기가 재미있는 까닭은 “빠진 18분의 1”이라는 빈틈을 빌린 낙타 한 마리가 정확히 메웠기 때문입니다.
세 아들이 아침에 유언장을 들고 나와 다투는 장면으로 이야기가 시작됩니다. 열일곱 마리를 절반, 삼분의 일, 구분의 일로 나누라니 낙타를 잘라야 할 판이었습니다. 지나가던 노인이 자기 낙타 한 마리를 보태며 말합니다. 「이제 나눠 보시오.」
나눌 수 없는 것을 나누는 지혜입니다. 유산·주식·회사 지분처럼 쪼갤 수 없는 것을 비율대로 나눌 때 같은 어려움이 생깁니다.
실무에서는 부족한 몫을 돈으로 정산하거나, 낙타 한 마리처럼 임시로 빌렸다 돌려주는 방식을 씁니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
낙타를 그려 나눠 본다
낙타 17마리에 지혜로운 사람의 낙타 1마리를 보태어 18마리로 만듭니다. 첫째는 절반인 9마리, 둘째는 3분의 1인 6마리, 셋째는 9분의 1인 2마리를 가집니다.
세 아들이 가진 낙타를 모두 더하면 9 + 6 + 2 = 17마리입니다. 남은 1마리를 주인에게 돌려주면 아무도 손해 보지 않고 딱 맞게 나누어집니다.
낙타 열일곱 마리를 나눠 보세요
그 모자란 1/18 이 빌린 낙타를 돌려주게 해 줍니다.
분수의 합이 1 이 아닌 것
이 수수께끼의 비밀은 세 분수의 합에 있습니다. 입니다.
세 분수의 합이 1이 아니라 이기 때문에, 17마리를 전체 18마리의 관점에서 나누어 주면 정확히 17마리가 배분되고 남는 (1마리)이 고스란히 돌아가는 것입니다.
분수의 합을 재 보세요
1 − 17/18 = 1/18 → 18 마리로 만들면 됩니다.
이집트 분수
이 문제는 분수를 서로 다른 단위분수(분자가 1인 분수)의 합으로 나타내는 이집트 분수의 성질과 연결됩니다.
처럼, 고대 이집트인들은 모든 진분수를 단위분수들의 합으로 바꾸어 계산했습니다. 그리디(Greedy) 알고리즘을 사용하면 임의의 분수를 서로 다른 단위분수들의 유한 합으로 항상 전개할 수 있습니다.
다른 조합도 찾아 보세요
「모자란 분수」가 있어야 이 놀이가 됩니다.
단위분수 분해
단위분수 분해 문제는 현대 정수론에서 에르되시-그레이엄 추측(Erdős–Graham Conjecture) 및 에르되시-스트라우스 추측(Erdős–Straus Conjecture)으로 발전했습니다.
특히 모든 에 대해 을 만족하는 양의 정수해 가 항상 존재하는가 하는 문제는 아직도 미해결 난제로 연구되고 있습니다.
이집트 분수
고대 이집트인은 모든 분수를 단위분수의 합으로 적었습니다.
풀어 보기
분수의 합과 단위분수 분해. 다음 물음에 답하시오.
(1) 세 분수 의 합을 통분하여 기약분수로 계산하시오.
(2) 어떤 유산 23마리의 양을 세 사람에게 씩 나누어 주려고 한다. 양 1마리를 빌려와서 나누어 줄 수 있음을 보이고, 각자가 받는 양의 수를 구하시오.
(3) 분수 를 서로 다른 두 단위분수의 합으로 나타내시오.
(2) 1/2 + 1/3 + 1/8 = (12+8+3)/24 = 23/24 임을 이용합니다.
답과 풀이 보기
(1)
1 이 아니라 — 한 몫이 남습니다. 낙타 열일곱 마리 이야기가 풀리는 자리가 여기입니다.
(2)
한 마리를 빌려 24 마리로 만들면 , , 마리씩 나눕니다.
— 나누고 나면 빌린 한 마리가 그대로 남아 돌려줄 수 있습니다.
(3) 입니다. (다른 답도 있습니다 — )
속임수처럼 보이지만 속임수가 아닙니다. 애초에 유언의 몫을 다 더해도 1 이 안 되기 때문에 빌린 것이 남는 것입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
단위분수(분자가 1인 분수)는 아주 오래된 주제입니다.
- 이집트 분수 — 고대 이집트는 모든 분수를 단위분수의 합으로 적었습니다
- 공정한 분배 — 나눌 수 없는 것을 어떻게 나눌지는 지금도 연구 주제입니다
- 다른 조합으로도 이 이야기를 만들 수 있습니다. 합이 1보다 조금 작은 단위분수 셋을 찾아보세요
이어지는 장
유언에 적힌 분수들의 합이 전체 1이 되지 않는 허점을 이용해 지혜롭게 유산을 나누었듯, 세 사람 사이에서 물건을 분쟁 없이 쪼개는 수학적 분할 알고리즘이 있습니다 — 제73장에서 모두가 만족하는 나눗셈의 비결을 확인해 보세요.
영감을 받은 곳
중세 아랍 및 페르시아의 수학 우화로 전해지며, 브라질의 수학 교육자 줄리오 세자르 드 멜로 e 소우자(필명 말바 타한)의 1938년 저서 『수를 사랑한 사람』(The Man Who Counted) 제3장에 생생히 수록되어 널리 알려졌습니다.