별과 정리 · 제44장 · 1부 · 누구나 손댈 수 있는 것

파스칼 삼각형

Pascal's Triangle

더하기만 했는데 조합·이항계수·피보나치가 다 들어 있다

홀수 칸만 색칠해 보세요

수를 삼각형으로 쌓아 놓은 오래된 표가 있습니다. 더하기만으로 만든 표입니다.

그 표에서 홀수인 칸만 색칠해 보세요. 색칠한 자리가 구멍 뚫린 삼각형 무늬를 이루고, 줄을 늘릴수록 그 무늬가 제 안에서 되풀이됩니다. 더하기밖에 안 했는데 왜 이런 무늬가 나올까요?

이야기

블레즈 파스칼 초상 — 블레즈 파스칼
unknown; a copy of the painting of François II Quesnel, whic
Public domain · 위키미디어 공용

1654년 파리, 도박을 즐기던 슈발리에 드 메레가 파스칼에게 묻습니다. 「내기를 하다가 중간에 그만두게 되면 판돈을 어떻게 나눕니까?」 파스칼은 이 물음을 툴루즈의 페르마에게 편지로 보내고, 두 사람이 주고받은 편지에서 확률론이 태어납니다. 이 삼각형은 그 계산에 쓰인 표였습니다.

그런데 표 자체는 파스칼의 것이 아닙니다. 중국에서는 1261년 양휘가 적어 「양휘 삼각형」이라 부르고, 이란에서는 그보다 앞선 하이얌의 이름으로 부릅니다. 인도와 페르시아에도 있었습니다. 파스칼이 한 일은 표를 만든 것이 아니라 그것을 무엇에 쓰는지를 보인 것입니다.

왜 더하기만 했는데 조합의 수가 나올까요. 맨 위에서 아래로 왼쪽·오른쪽만 골라 내려오는 길을 세어 보십시오. 어떤 칸에 닿는 길은 반드시 바로 위 두 칸 가운데 하나를 지나기 때문에, 그 칸의 길 수는 위 두 수의 합입니다.

그리고 「다섯 걸음 가운데 오른쪽을 두 번 고르기」는 곧 「다섯 개에서 둘 고르기」와 같은 말입니다. 그래서 길의 수가 곧 조합의 수가 됩니다.

오늘 이것이 하는 일

확률을 셈하는 표입니다. 「열 번 던져 여섯 번 앞면일 확률」이 이 삼각형의 한 칸입니다.

신약의 효과를 판정하고, 품질 검사에서 불량률을 추정하고, 여론조사의 오차를 내는 셈이 모두 여기서 나옵니다.

계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로

초4 · 초5 — 손으로 해 본다

삼각형을 채워 본다·짝홀 색칠

종이에 1부터 시작해 위의 두 수를 더한 값을 아래에 적으며 탑을 쌓아 봅니다. 줄마다 적힌 수들을 가로로 모두 더해 보세요. 1, 2, 4, 8, 16으로 정확히 2배씩 늘어납니다.

홀수에는 색을 칠하고 짝수는 비워 두어 보세요. 삼각형 안에 작은 삼각형들이 끝없이 반복되는 신기한 프랙탈 눈송이 무늬가 나타납니다.

위의 둘을 더해 보세요

파스칼 삼각형 64줄에서 홀수에는 불을 켜고(점) 짝수는 끈다

그 수 —왼쪽 위 —오른쪽 위 —

줄 n — 0

자리 k — 2

단순한 덧셈만 했을 뿐인데, 그런데 64줄을 채우자마자 삼각형 속에 거대한 시에르핀스키 프랙탈 무늬가 나타난다
단순한 더하기 숫자 탑에서 저절로 아름다운 크리스마스 트리 무늬가 그려진다

중1 · 중2 — 까닭을 찾는다

조합 수와 이어 붙이기

명 중에서 명을 뽑는 조합의 수 이 바로 파스칼 삼각형의 행 열의 수입니다.

특정한 한 사람을 포함하여 뽑는 경우 과 그 사람을 빼고 뽑는 경우 로 나누어 생각하면, 이라는 파스칼 항등식이 바로 윗줄 두 수를 더하는 규칙임을 알 수 있습니다.

한 줄을 다 더하면

대각선 방향으로 숫자들을 1 + 3 + 6 + 10 = 20 처럼 드래그하여 선택한다

한 줄의 합 —가장 큰 수 —줄의 칸 수 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

줄 n — 5

견줄 자리 nb — 24

대각선으로 쭉 내려가며 숫자를 더하다가, 그런데 딱 멈추고 반대 방향으로 꺾으면 그 자리의 숫자 하나가 앞선 모든 숫자의 합과 정확히 일치한다
대각선으로 썰매를 타며 숫자를 다 더한 뒤 옆으로 꺾으면 그 자리 숫자가 합계와 딱 맞는다

고1 · 고2 — 넓혀 본다

이항정리

파스칼 삼각형은 다항식의 전개식 의 계수를 완벽하게 나타냅니다. 이것이 이항정리입니다.

을 대입하면 이 되어 행의 합이 임이 증명되고, 대각선 방향으로 수들을 더하면 하키스틱 항등식 이 유도됩니다.

이항정리로 펼쳐 보세요

파스칼 삼각형을 얕은 대각선(기울기 1/2) 방향으로 묶는 슬라이더를 켠다

계수 nCk —a 의 지수 —b 의 지수 —

지수 n — 0

자리 k — 3

단순히 앞줄 두 수를 더해 만든 이항계수 탑인데, 그런데 비스듬한 사선 선을 그어 합을 구하면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 피보나치 수열이 저절로 뽑혀 나온다
삼각형을 비스듬하게 사선으로 베어 더하면 신기하게 토끼 번식 숫자가 튀어나온다

대학 — 어디까지 가나

생성함수

파스칼 삼각형은 조합론의 생성함수(Generating Function) 및 다변수 테일러 급수와 연결됩니다. 홀짝성에 따른 색칠 패턴은 2진 유한체 상의 뤼카 정리(Lucas' Theorem)에 의해 시에르핀스키 삼각형(하우스도르프 차원 )으로 수렴함이 엄밀히 증명됩니다.

이 구조는 확률론의 이항분포와 브라운 운동, 양자 통계역학의 상태수 계산에 기초가 됩니다.

가운데가 얼마나 높은가

나눗셈 나머지 p 슬라이더를 2(홀짝), 3, 5 로 바꾸며 소수 p로 나눈 나머지 패턴을 본다

가운데 수 —어림 2ⁿ/√(πn/2) —전체의 몇 % —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

줄 n (짝수) — 20

견줄 자리 nb — 48

p=2일 땐 시에르핀스키 삼각형 1개였는데, 그런데 소수 p=3, 5로 바꾸자 자기유사성을 가진 다채로운 고차 프랙탈 격자망으로 진화한다
나누는 소수 숫자를 3이나 5로 바꾸면 또 다른 프랙탈 눈꽃송이가 피어난다

풀어 보기

중학교 · 고등학교 수준 · 답은 검산을 마쳤습니다

파스칼 삼각형과 이항계수. 파스칼 삼각형의 제4행은 1, 4, 6, 4, 1 이다.

(1) 제5행(n=5)의 수들을 파스칼 항등식을 이용하여 차례로 구하시오.
(2) 의 전개식을 이항정리를 이용하여 작성하시오.
(3) 제5행에 있는 6개 수의 총합이 임을 확인하시오.

(1) 1, 1+4=5, 4+6=10, 6+4=10, 4+1=5, 1 이 됩니다.

답과 풀이 보기

(1) 위 두 수를 더해 내려갑니다.

→ 1, 5, 10, 10, 5, 1

(2)
계수가 곧 제5행입니다.

(3)
에 을 넣으면 이 되니, 줄의 합이 인 것은 당연합니다.

그 밖에도 이 삼각형에는 비스듬히 더하면 피보나치 수가 나오고, 홀수 칸만 색칠하면 시에르핀스키 삼각형이 나타납니다. 더하기만 했는데 이런 것들이 들어 있습니다.

여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.

고1-2 03 순열과 조합

만지는 수학으로 손에 쥐어 보기

이 장과 이어지는 「만지는 수학」 칼럼입니다. 손끝으로 직접 끌고 눌러 보며 같은 생각을 몸으로 겪을 수 있습니다.

경우의수고1 규칙찾기초2

더 멀리

이 삼각형은 확률과 계산의 교차로입니다.

이항정리 — 을 펼쳤을 때 계수가 이 줄입니다
확률 — 동전을 n번 던져 앞면이 k번 나올 경우의 수입니다
골턴 보드 — 구슬이 못을 지나며 갈라지는 길의 수가 이 삼각형입니다

이어지는 장

덧셈 규칙 하나로 쌓아 올린 파스칼 삼각형의 숫자들을 홀수와 짝수로 구분하여 색을 칠하면, 삼각형 가운데가 반복적으로 뚫리는 아름다운 프랙탈 도형이 펼쳐집니다 — 제85장에서 조합론의 숫자 표와 프랙탈 기하학이 하나로 만나는 장면을 감상해 보세요.

이어지는 자료

고1 · 경우의수 — 옷 고르기 — 왜 더하지 않고 곱할까만지는수학 중2 경우의수와확률 단원살아있는수학교과서

영감을 받은 곳

블레즈 파스칼이 1654년 저술하고 1665년 사후 출간된 『산술 삼각형론』(Traité du triangle arithmétique)에서 유래했습니다. (13세기 남송 양휘의 『상해구장산법』에도 기록되어 있습니다).