한 번의 가위질
접어서 단 한 번만 자릅니다
종이 위에 다섯 갈래 별이나 나비, 혹은 원하는 어떤 다각형이든 그려 보세요. 종이를 이리저리 잘 접은 다음, 가위로 곧은 선을 단 한 번만 싹둑 자릅니다.
종이를 펼치면 방금 그렸던 복잡한 별 모양이 종이에서 깨끗하게 쏙 빠져나옵니다. 세상 모든 다각형을 단 한 번의 가위질로 오려낼 수 있다는 것이 정말 사실일까요?
이야기
1998년 MIT. 열일곱 살의 에릭 디메인과 그의 아버지, 그리고 안나 루비우가 이 정리를 증명합니다. 에릭은 열두 살에 대학에 들어가 스무 살에 MIT 교수가 된 사람입니다.
그런데 이 마술 자체는 훨씬 오래되었습니다. 1721년 일본의 수수께끼 책에 접어서 자르는 문제가 실려 있고, 마술사 후디니도 1922년 자기 책에 별 오리기를 적어 두었습니다. 사람들은 삼백 년 동안 되는 것을 알면서 왜 되는지는 몰랐던 것입니다.
비결은 오려 낼 모든 선을 한 직선 위로 겹치게 접는 데 있습니다. 한 번의 가위질이 여러 변을 동시에 자르려면, 접었을 때 그 변들이 같은 자리에 포개져 있어야 하기 때문입니다.
그렇게 접으려면 각의 이등분선을 따라 접어야 합니다. 이등분선이 두 변에서 똑같은 거리에 있는 자리이기 때문입니다. 도형 안쪽에 생기는 이 이등분선들의 뼈대를 직선 골격이라 하고, 그것이 접는 지도가 됩니다.
그는 열두 살에 대학에 들어가 스무 살에 MIT 교수가 되었습니다. 아버지와 함께 종이접기를 수학으로 다루는 일을 계속했고, 두 사람이 접어 만든 작품은 뉴욕 현대미술관에 걸려 있습니다. 종이 한 장을 접는 일이 수학이면서 동시에 예술인 셈입니다.
접어서 펴는 설계의 뿌리입니다. 어떤 도형이든 한 번의 가위질로 오릴 수 있다는 정리는 「접는 법」이 얼마나 강한지 보여 줍니다.
우주망원경의 거울, 인공위성 태양전지판, 심장 스텐트가 모두 접어서 넣고 펼치는 물건입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
종이를 접어 별을 한 번에 오려 본다
종이에 대칭인 하트나 별 모양을 그리고 선을 따라 대칭축으로 반을 접어 봅니다. 한 번 더 접어 선들이 하나로 겹치게 맞춘 뒤 가위로 싹둑 잘라 보세요.
종이를 펼치면 완벽한 모양이 오려집니다. 종이를 접을 때 선들이 정확히 하나의 직선 위로 포개어지도록 접는 법을 손으로 직접 찾아보세요.
접어서 한 번에 잘라 보세요
복잡한 별 모양도 종이를 딱 맞게 접으면 가위질 단 한 번으로 쏙 빠져나온다
접는 선이 각의 이등분선인 까닭
다각형의 변들을 한 직선 위에 나란히 겹치게 접으려면 각 꼭짓점에서 나오는 내각의 이등분선을 따라 종이를 접어야 합니다.
각의 이등분선 위에 있는 점은 두 변까지의 거리가 같습니다. 종이의 모든 변에서 같은 속도로 벽을 안쪽으로 밀고 들어온다고 상상할 때 생기는 경계선들을 따라 접으면 모든 다각형의 변이 정확히 한 직선 위에 일치하게 됩니다.
접는 자국을 세어 보세요
모서리 각도를 정확히 반으로 접으면 양쪽 선이 쌍둥이처럼 딱 붙는다
직선 골격(straight skeleton)
이 접는 선의 패턴을 계산기하학에서는 직선 골격(Straight Skeleton)이라 부릅니다. 다각형의 각 변을 안쪽으로 평행 이동시킬 때 모서리가 쓸고 지나가는 궤적입니다.
모든 평면 다각형에 대해 직선 골격과 수직선을 조합하면 모든 변을 단일 평면상의 한 선분으로 일치시키는 평평한 접기(Flat Folding) 패턴이 항상 존재함이 에릭 드메인(Erik Demaine) 등에 의해 수학적으로 증명되었습니다.
마에카와 정리
종이가 납작하게 착 달라붙으려면 튀어나온 주름과 들어간 주름의 개수 차이가 무조건 2개여야 한다
접기 기하학
접고 자르기 정리(Fold-and-Cut Theorem)는 계산 접기 기하학(Computational Origami)의 위대한 성취입니다. 1999년 완성된 보편적 알고리즘은 임의의 직선 다면체 경계선에 대해서도 작동합니다.
이 기하학적 원리는 우주 망원경의 태양광 패널 접기, 체내에서 스스로 펼쳐지는 의료용 스텐트 및 나노 로봇, 충돌 흡수 메커니즘 등 첨단 공학 설계의 핵심 이론으로 활발히 응용되고 있습니다.
가와사키 정리
종이접기는 기하학의 규칙을 그대로 따릅니다.
풀어 보기
종이접기와 가위질. 두 변이 이루는 각이 인 종이의 모서리 부근에 그려진 두 선분을 한 번의 가위질로 동시에 오려내려 한다.
(1) 두 선분이 정확히 겹치도록 접으려면 접는 선은 두 선분이 이루는 각을 몇 도로 나누어야 하는가?
(2) 삼각형의 세 변을 한 직선 위에 포개어 한 번에 자르기 위해 필요한 삼각형 내부의 접는 선 세 개는 삼각형의 어떤 중심에서 만나는가?
(3) 임의의 다각형을 한 번의 가위질로 오려낼 수 있게 만드는 접는 선의 뼈대 구조의 이름을 쓰시오.
(2) 세 내각의 이등분선이 만나는 점은 삼각형의 내심(Incenter)입니다.
답과 풀이 보기
(1) 이등분해야 합니다 — 두 선분이 이루는 각의 각의 이등분선이 접는 선입니다.
종이의 두 변이 를 이룬다면 접는 선은 그 사이를 씩 똑같이 나눕니다. 그래야 접었을 때 한 선분이 다른 선분 위에 정확히 포개집니다.
(2) 내심(세 내각의 이등분선이 만나는 점)입니다.
세 변을 한 직선 위에 포개려면 세 각을 모두 이등분해야 하는데, 그 세 이등분선은 한 점에서 만납니다. 그 점은 세 변에서 같은 거리에 있어 내접원의 중심이 됩니다.
(3) 직선 골격(straight skeleton)입니다.
다각형의 변을 안쪽으로 나란히 밀어 넣을 때 꼭짓점이 지나간 자국이 뼈대가 됩니다. 여기에 수직인 보조 접는 선을 더하면 어떤 다각형이든 한 번의 가위질로 오려집니다 (1998 년 데메인·데메인·루빅).
별 하나를 오리려고 가위를 여러 번 대신 적이 있으신가요. 접는 자리만 알면 가위질은 언제나 딱 한 번입니다. 1721 년 일본의 수수께끼 책에도 이미 이 문제가 실려 있었습니다.
더 멀리
접기의 수학은 실제 기술이 되었습니다.
- 인공위성 — 큰 태양전지판을 접어 올려 우주에서 펼칩니다
- 에어백 — 좁은 곳에 접어 넣었다가 순식간에 펴져야 합니다
- 의료용 스텐트 — 혈관 안에서 펴지는 구조물을 접기 수학으로 설계합니다
이어지는 장
종이를 접고 접어 단 한 번의 직선 가위질로 복잡한 다각형을 오려내는 기하학적 접기의 원리는, 종이를 접는 횟수의 한계와 기하급수적 두께를 탐구한 제31장 과 함께 종이접기 속에 담긴 놀라운 수학을 펼쳐 보여 줍니다.
이어지는 자료
영감을 받은 곳
1721년 일본 에도 시대의 와산가 무라마쓰 시게키요의 책 『간센진코키』(勘泉塵劫記)와 1922년 마술사 해리 후디니의 기록에 등장하며, 1999년 에릭 드메인(Erik Demaine) 등이 직선 다각형에 대한 완전한 수학적 정리를 증명했습니다.