종이를 마흔두 번 접으면
신문지를 반으로 접어 보세요
두께 0.1밀리미터인 신문지를 반으로 접습니다. 한 번 접으면 2장, 두 번이면 4장, 세 번이면 8장 두께입니다. 아직 손톱만큼도 안 됩니다.
그런데 마흔두 번 접을 수 있다면 그 두께는 얼마가 될까요? 손 한 뼘? 사람 키? 아니면 그보다 훨씬 멀리까지 갈까요?
이야기
종이 한 장의 두께가 0.1밀리미터입니다. 반으로 접으면 0.2, 또 접으면 0.4… 이렇게 마흔두 번 접으면 얼마나 두꺼워질까요?
대부분 「몇 미터쯤?」이라고 답합니다. 실제 답은 달까지 닿는 거리입니다. 약 44만 킬로미터입니다.
믿기지 않으면 계산기를 두드려 보세요. 는 약 4조 4천억입니다. 거기에 0.1밀리미터를 곱하면 됩니다.
우리 머리는 더하기에는 익숙하지만 곱하기로 늘어나는 것에는 형편없이 약합니다. 한 걸음씩 더해 가는 것은 상상이 되는데, 두 배씩 늘어나는 것은 상상이 안 됩니다.
그래서 이 장은 셈보다 감각을 배우는 자리입니다. “두 배씩”이라는 말이 나오면 멈춰서 계산기를 드는 버릇 — 그것 하나면 됩니다.
전염병이 퍼지는 속도가 이것입니다. 한 사람이 둘에게 옮기면 스무 번 만에 백만 명이 됩니다.
이자·인구·컴퓨터 성능·소문이 퍼지는 속도가 모두 같은 모양이고, 사람은 이 속도를 거의 언제나 과소평가합니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
접을 때마다 두께를 적어 본다
종이를 반으로 계속 접어 봅니다. 1번 접으면 2겹, 2번 접으면 4겹, 3번 접으면 8겹, 7번쯤 접으면 너무 두꺼워져 더 이상 손으로 접히지 않습니다.
두께가 매번 2배씩 곱해지기 때문입니다. 10번만 접어도 1024겹이 되어 백과사전 두께가 되고, 20번을 접으면 아파트 30층 높이인 100미터가 됩니다.
종이를 접어 보세요
한 번 접을 때마다 두 배가 되기 때문입니다.
거듭제곱으로 셈
번 접었을 때 두께는 입니다. 42번 접으면 배가 됩니다.
가 됩니다. 지구와 달 사이의 평균 거리인 약 384,000 km를 가볍게 돌파합니다. 이것이 바로 지수적 증가의 폭발적인 힘입니다.
산을 넘는 것은 몇 번째일까요
0.1 mm 짜리 종이가 말입니다.
로그로 되돌리기
지수함수 의 역함수는 로그함수 입니다. 지수함수는 어떤 다항함수 보다도 궁극적으로 빠르게 증가합니다.
감염병의 확산, 복리 이자의 증식, 방사성 동위원소의 반감기 감쇠 공식 등 자연과 사회의 수많은 변화가 이 미분방정식 의 해인 지수 모형을 따릅니다.
달에 닿는 것은 몇 번째일까요
2ⁿ 은 이렇게 무섭습니다. 이것이 지수 증가입니다.
지수 성장과 감쇠
컴퓨터 과학의 계산 복잡도 이론에서 다항 시간 알고리즘(P)과 지수 시간 알고리즘(EXP)의 차이는 문제 해결의 실질적 가능성을 가르는 절대적 기준선입니다.
또한 비선형 동역학에서 초기 조건에 대한 민감한 의존성을 나타내는 랴푸노프 지수(Lyapunov exponent)와 카오스 이론의 나비 효과 역시 지수적 발산에 기초합니다.
빛이 한 해 가는 거리까지
지수는 어떤 다항식보다도 빨리 자랍니다 — 그래서 알고리즘에서 2ⁿ 은 「풀 수 없다」는 뜻이 됩니다.
풀어 보기
종이 접기와 거듭제곱 두께. 두께가 인 종이를 반으로 번 접었을 때의 두께를 이라 하자. ()
(1) 종이를 10번 접었을 때의 두께 을 m(미터) 단위로 구하시오.
(2) 종이를 30번 접었을 때의 두께 을 km(킬로미터) 단위로 어림하여 구하시오.
(3) 두께가 에베레스트산 높이(약 )를 처음으로 넘어서려면 적어도 몇 번 접어야 하는지 구하시오.
26 번은 6,711 m 로 아직 못 넘습니다 — 27 번에 13,422 m 가 되어 처음으로 넘어섭니다.
답과 풀이 보기
(1) (약 10 cm)
(2) 인데 이므로
(정확히는 약 107 km — 대기권을 벗어납니다)
(3) 한 번 접을 때마다 두 배이므로 차례로 재어 봅니다.
— 아직 못 넘습니다.
— 넘습니다. 따라서 27 번입니다.
실제로는 종이를 여덟 번 남짓밖에 못 접습니다. 접을 때마다 굽는 자리가 두께만큼 필요해지기 때문입니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
두 배씩 늘어나는 것은 늘 우리를 놀라게 합니다.
- 복리와 빚 — 이자가 이자를 낳으면 처음엔 느리다가 갑자기 감당 못 하게 됩니다
- 전염병 — 한 사람이 두 사람에게 옮기면 스무 번 만에 백만 명이 됩니다
- 쌀알 이야기 — 체스판 첫 칸에 한 알, 다음 칸에 두 배씩 놓아 달라던 신하 이야기가 같은 셈입니다
이어지는 장
마흔두 번 접으면 달에 닿는다는 상상력 뒤에는, 종이의 두께와 재질 탓에 현실에서는 여덟 번조차 넘기기 힘들다는 흥미진진한 물리적 한계가 기다리고 있습니다 — 제31장에서 현실의 종이 접기 한계에 도전해 보세요.
영감을 받은 곳
체스판 칸마다 쌀알을 두 배씩 늘려 달라고 했던 고대 인도의 세사 설화와 현대의 종이 접기 사고실험에서 널리 쓰이는 수학적 비유입니다.