오일러 선
삼각형의 중심들이 한 줄로
종이에 아무렇게나 삐딱한 삼각형을 하나 그리고 세 꼭짓점에서 마주 보는 변에 수직으로 내린 선들의 교점(수심 )을 찾으세요.
각 변의 중점을 이은 선들의 교점(무게중심 )과 세 변의 수직이등분선의 교점(외심 )도 찍어 보세요. 이 세 점에 자를 대어 보면 정확히 하나의 직선 위에 놓이는 까닭은 무엇일까요?
이야기
Jakob Emanuel Handmann
Public domain · 위키미디어 공용
1765년, 오일러는 쉰여덟이었습니다. 이미 한쪽 눈을 잃었고 남은 눈도 흐려지고 있었습니다. 그는 삼각형의 특별한 점들을 좌표로 늘어놓고 거리를 계산했습니다. 그러다 수심과 무게중심과 외심 사이의 거리가 2대 1로 딱 떨어지는 것을 봅니다. 세 점이 한 줄 위에 있다는 뜻이었습니다.
그런데 이 줄에 끝내 올라오지 못한 점이 하나 있습니다. 삼각형에 꼭 맞게 들어가는 원의 중심, 곧 내심입니다. 이등변삼각형이 아닌 한 내심은 이 선을 비켜서 있습니다. 가장 친숙한 점이 정작 빠진 것입니다.
왜 셋은 한 줄에 놓일까요. 세 변의 중점을 이어 작은 삼각형을 만들어 보십시오. 그것은 원래 삼각형을 무게중심에서 절반으로 줄이고 뒤집은 것과 똑같습니다. 그런데 이 축소가 수심을 외심 자리로 옮깁니다.
줄이고 뒤집는 일은 언제나 중심을 지나는 한 직선 위에서 일어나기 때문에, 세 점은 한 줄에 있을 수밖에 없고 거리의 비도 2대 1로 정해집니다.
바로 쓰이는 곳은 거의 없습니다. 삼각형의 아름다움을 보여 주는 정리입니다.
다만 「무게중심」은 다릅니다 — 자동차의 무게중심, 비행기의 균형점, 로봇이 넘어지지 않는 조건이 모두 그 점을 어디에 두느냐로 정해집니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
삼각형 세 점을 찍어 자로 대어 본다
삼각형을 그리고 외심(외접원의 중심), 무게중심(균형점), 수심(높이들의 교점) 세 점을 자와 컴퍼스로 찾아 점을 콕콕 찍어 보세요.
삼각형이 제아무리 길쭉하거나 찌그러져 있어도 세 점에 자를 대면 완벽하게 한 줄로 이어집니다. 이 신기한 직선을 발견자의 이름을 따 오일러 선(Euler line)이라고 부릅니다.
세 중심을 찾아 보세요
오일러가 1765년에 찾았습니다 — 어떤 삼각형에서도 그렇습니다.
무게중심이 2:1 로 나눈다
오일러 선 위의 세 점 사이의 거리에는 일정한 황금 비율이 숨어 있습니다.
외심 , 무게중심 , 수심 는 항상 순서로 놓이며, 무게중심이 외심과 수심 사이를 정확히 1 : 2 로 내분합니다(). 정삼각형일 때만 세 점이 하나로 합쳐집니다.
정삼각형에서는
찌그러질수록 선이 길어집니다.
좌표·벡터로 증명
삼각형의 외심을 원점으로 두는 위치벡터를 잡으면 증명이 매우 간결해집니다.
세 꼭짓점의 위치벡터를 라 할 때, 외심은 , 무게중심은 입니다. 이때 수심의 위치벡터가 가 됨을 내적 계산으로 증명할 수 있으며, 이로부터 가 일직선상에 있음이 즉시 유도됩니다.
구점원의 중심도 그 위에
그래서 오일러 선 위에 네 점이 나란히 놓입니다.
구점원과의 관계
오일러 선 위에는 외심, 무게중심, 수심뿐 아니라 세 변의 중점과 세 수선의 발 등을 지나는 구점원(Nine-point circle)의 중심 도 정확히 외심과 수심의 중점으로 놓입니다.
클라인(Klein)의 에를랑겐 프로그램 관점에서 오일러 선은 아핀 기하학과 사영 기하학의 불변량 체계에서 삼각형 중심들의 대수적 궤적으로 해석됩니다.
OH² 를 재 보세요
OH² = 9R² − (a²+b²+c²) 는 오일러의 항등식입니다.
풀어 보기
오일러 선과 삼각형의 중심. 삼각형 ABC의 외심을 , 무게중심을 , 수심을 라 하자.
(1) 외심과 수심 사이의 거리 일 때, 선분 와 의 길이를 각각 구하시오.
(2) 수심과 외심의 중점인 구점원의 중심을 이라 할 때, 선분 의 길이를 로 나타내시오.
(3) 정삼각형에서 오일러 선이 정의되지 않는(하나의 직선으로 결정되지 않는) 까닭을 설명하시오.
(1) 은 무게중심이 외심과 수심을 1:2로 내분한다는 비례를 적용하세요.
답과 풀이 보기
(1) · 입니다.
무게중심 G 는 O 와 H 를 잇는 선분을 1 : 2 로 나눕니다 ().
(2) 입니다.
이면 이고, N 은 의 중점이므로 .
⭐ 그러므로 네 점은 — 한 직선 위에 정해진 비로 늘어섭니다.
(3) 정삼각형에서는 네 중심이 모두 한 점에 겹치기 때문입니다.
외심·무게중심·수심·내심이 모두 같은 점이 되어 이 됩니다.
⛔ 점 하나로는 직선이 정해지지 않습니다. 그래서 오일러 선이 없는 것이 아니라 어느 직선이라 해야 할지 정할 수 없습니다.
삼각형을 아무렇게나 그려도 세 중심이 언제나 한 줄로 섭니다. 게다가 비까지 1 : 2 로 고정입니다.
1765 년 오일러가 찾아냈고, 1820 년에는 그 선 위에서 아홉 점이 한 원 위에 있다는 것까지 밝혀졌습니다. 삼각형 하나에 이렇게 많은 질서가 숨어 있습니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
삼각형 하나에서 놀라운 관계가 계속 나옵니다.
- 구점원 — 아홉 개의 특별한 점이 한 원 위에 놓입니다
- 기하 소프트웨어 — 점을 끌면서 관계가 유지되는 것을 볼 수 있습니다
- 직접 그리기 — 자와 컴퍼스로 세 점을 찍고 자를 대어 보세요
이어지는 장
영감을 받은 곳
레온하르트 오일러가 1765년 상트페테르부르크 학술원 논문집 『Novi Commentarii Academiae Petropolitanae』에 발표한 논문 「Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum」에서 삼각형의 외심, 무게중심, 수심이 한 직선 위에 있음을 증명한 기록에서 왔습니다.