리만 가설

이야기

소수는 불규칙해 보입니다. 2, 3, 5, 7, 11, 13… 다음에 어디서 나올지 알 수 없습니다.

그런데 멀리서 보면 규칙이 있습니다. x 이하의 소수 개수는 대략 입니다. 이것을 소수 정리라 합니다.

물음은 “그 어림이 얼마나 정확한가” 입니다.

1859년 베른하르트 리만이 여덟 쪽짜리 논문에서 이 물음을 완전히 새로운 곳으로 옮겼습니다. 앞에서 본 바젤 문제의 그 함수 — 제타 함수 — 를 복소수까지 넓힌 것입니다.

그리고 소수의 분포가 이 함수가 0이 되는 자리에 달려 있음을 보였습니다.

그가 남긴 한 줄이 리만 가설입니다. “0이 되는 자리는 모두 한 직선 위에 있다.”

백육십 년이 넘도록 아무도 증명하지 못했습니다. 컴퓨터로 수십조 개를 확인했고 모두 그 직선 위에 있었습니다. 그러나 확인은 증명이 아닙니다.

클레이 수학연구소가 백만 달러를 걸었습니다. 수학에서 가장 유명한 미해결 문제입니다.

이 가설이 중요한 까닭은 소수가 얼마나 고르게 흩어져 있는지를 정하기 때문입니다. 영점이 모두 그 선 위에 있다면 소수의 분포가 예상에서 크게 벗어나지 않고, 하나라도 벗어나 있다면 소수는 우리가 아는 것보다 훨씬 제멋대로입니다.

지금까지 수십조 개의 영점을 컴퓨터로 확인했고 모두 그 선 위에 있었습니다. 그래도 증명은 아닙니다. 수학에서는 조 단위로 맞아도 다음 하나가 어긋날 수 있기 때문입니다.

상금 백만 달러가 걸려 있고, 이미 이 가설이 참이라고 가정하고 쓴 논문이 수천 편입니다. 무너지면 그 수천 편이 함께 무너집니다.