각을 삼등분할 수 없다
60도를 3등분해 보세요
눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 선분을 이등분하거나 각을 반으로 나누는 것은 중학교 1학년이면 누구나 쉽게 해냅니다.
하지만 60도 각을 자와 컴퍼스로 정확히 20도씩 3등분하려 하면 이천 년 동안 어떤 천재도 성공하지 못했습니다. 왜 2등분은 쉬운데 3등분은 영원히 불가능할까요?
이야기
각을 이등분하는 것은 쉽습니다. 자와 컴퍼스로 몇 번이면 됩니다.
그러면 삼등분은? 이천 년 동안 사람들이 매달렸습니다. 아무도 못 했습니다.
그러다 1837년, 프랑스 수학자 피에르 방첼이 답을 냈습니다. “못 하는 것이 아니라 불가능하다.”
어떻게 「영원히 불가능」을 증명할까요? 열쇠는 작도를 대수로 옮기는 것입니다.
자와 컴퍼스로 할 수 있는 일은 직선 긋기와 원 그리기뿐입니다. 이것을 좌표로 옮기면 사칙연산과 제곱근만 쓸 수 있다는 뜻이 됩니다.
그런데 60도를 삼등분하려면 세제곱근이 필요합니다. 제곱근을 아무리 겹쳐도 세제곱근은 나오지 않습니다. 그래서 불가능합니다.
기하 문제를 대수로 옮겨 푼 것입니다. 데카르트가 좌표를 만든 지 이백 년 만에 그 힘이 드러났습니다.
「불가능함을 증명하는 법」이 여기서 나왔습니다. 기하 문제를 대수로 옮겨 푸는 방식입니다.
그 방법(갈루아 이론)이 지금 오류 정정 부호와 암호의 바탕입니다. 그리고 「할 수 없는 일에 시간을 쓰지 않는 법」을 알려 줍니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
각을 이등분해 보고 삼등분을 시도한다
컴퍼스와 자로 원을 그리고 각을 반으로 접듯 나누어 봅니다. 90도를 반으로 나누어 45도, 45도를 반으로 나누어 22.5도를 만드는 것은 언제나 가능합니다.
하지만 60도를 똑같이 셋으로 나누어 20도를 그리는 일은 아무리 정밀하게 컴퍼스를 돌려도 결코 맞아떨어지지 않습니다.
각을 삼등분해 보세요
20° 를 자와 컴퍼스로는 영영 못 그립니다.
왜 어려운가 느껴 보기
눈금 없는 자는 직선(1차 방정식)을 긋고, 컴퍼스는 원(2차 방정식)을 그립니다. 둘을 교차시켜 찾을 수 있는 점의 좌표는 사칙연산과 제곱근()을 씌우는 것뿐입니다.
즉 2의 거듭제곱 차수만 만들어낼 수 있습니다. 60도를 삼등분하려면 20도의 코사인 값인 가 필요한데, 이는 3차 방정식을 풀어야 하므로 자와 컴퍼스의 한계를 벗어납니다.
왜 안 될까요
삼등분은 3 차 방정식이라 2^k 가 될 수 없습니다.
작도 가능한 수
삼배각 공식 에서 라 하고 로 치환하면 이라는 3차 다항식을 얻습니다.
이 다항식은 유리수체 위에서 기약(Irreducible)입니다. 작도 가능한 수의 체 확대 차수는 꼴이어야 하는데 확대 차수가 3이므로 는 작도 불가능합니다. 1837년 피에르 완첼이 이를 완벽히 증명했습니다.
세 가지 불가능
2,300 년 만에 「불가능하다」가 밝혀졌습니다.
체 확대와 갈루아
고대 그리스 3대 작도 불능 문제(각의 3등분, 원적 문제, 배적 문제)는 19세기 추상대수학의 체론(Field Theory)과 갈루아 이론(Galois Theory)에 의해 대수적 구조의 문제로 완전히 승화되어 해결되었습니다.
기하학적 도형 그리기가 대수적 다항식의 근체(Splitting field)와 자기동형사상군(Automorphism group)의 가해성(Solvability) 판정으로 환원되는 수학사의 거대한 통일입니다.
도구를 바꾸면 됩니다
「불가능」은 도구에 딸린 말입니다. 문제 자체가 아닙니다.
풀어 보기
각의 3등분 작도 불능 문제. 삼배각 공식 에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 과 를 대입하여 에 대한 3차 다항식을 구하시오.
(2) 자와 컴퍼스만으로 작도 가능한 수의 최소다항식 차수가 만족해야 하는 형태를 쓰시오.
(3) 90도 각은 자와 컴퍼스로 3등분이 가능한지 여부와 그 까닭을 쓰시오.
(1) , (3) 30도는 정삼각형 작도로 가능하므로 90도는 3등분 가능합니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
양변에 2 를 곱하면
라 하면 · 이므로
확인 : 를 넣으면 정확히 0 입니다.
(2) 최소다항식의 차수가 2 의 거듭제곱()이어야 합니다.
자와 컴퍼스로 할 수 있는 일은 직선과 원의 교점을 찾는 것뿐이고, 그것은 제곱근을 한 번 씌우는 것에 해당합니다. 그러니 작도로 얻는 수는 제곱근을 겹겹이 쌓은 것이고, 차수는 늘 입니다.
그런데 은 3 차이고 기약입니다 (유리근 후보 을 넣으면 과 로 0 이 아닙니다).
3 은 2 의 거듭제곱이 아니므로 는 작도할 수 없고, 따라서 는 삼등분할 수 없습니다.
(3) 가능합니다.
인데, 는 정삼각형을 작도해 그 를 이등분하면 바로 나옵니다.
⛔ 여기서 가장 흔한 오해가 나옵니다 — 삼등분이 모든 각에 대해 불가능한 것이 아닙니다. 처럼 되는 각도 있고 처럼 안 되는 각도 있습니다.
정리의 뜻은 「어떤 각이든 삼등분해 주는 하나의 방법은 없다」입니다.
2,000 년 동안 수많은 사람이 매달렸습니다. 1837 년 방첼이 스물세 살에 불가능함을 증명했습니다.
기하 문제가 대수로 옮겨지자 풀렸습니다. 그런데도 지금까지 「내가 각을 삼등분했다」는 편지가 대학에 옵니다.
더 멀리
「불가능을 증명하기」는 수학의 큰 힘입니다.
- 정십칠각형 — 가우스가 열아홉 살에 작도 가능함을 증명했습니다
- 갈루아 이론 — 무엇이 작도 가능한지 완전히 밝힌 이론입니다
- 조심할 것 — 지금도 「삼등분에 성공했다」는 주장이 나옵니다. 대개 눈금 있는 자를 씁니다
이어지는 장
각의 삼등분선들이 만나는 자리에서 찬란한 정삼각형이 태어난다는 사실을 보았지만, 정작 자와 컴퍼스만으로는 임의의 각을 삼등분해 그릴 수 없습니다 — 제110장 의 아름다운 정리와 함께 작도의 엄격한 한계를 느껴보세요.
영감을 받은 곳
피에르 반첼(Pierre Wantzel)이 1837년 《리우빌 저널》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)에 발표한 논문 「Recherches sur les corps et les polygones réguliers」에서 3차 방정식의 대수적 구조를 통해 작도 불가능성을 증명했습니다.