햄 샌드위치 정리
칼질 한 번으로 세 가지를 반토막
식빵 두 장과 햄 한 장으로 만든 두툼한 샌드위치가 접시 위에 놓여 있습니다. 빵과 햄이 제멋대로 삐뚤빼뚤 얹혀 있어도 상관없습니다.
평평한 칼날을 쥐고 공중에서 비스듬히 단 한 번 직선으로 내리쳐 보세요. 위쪽 빵, 아래쪽 빵, 그리고 가운데 햄 세 덩어리를 칼질 한 번으로 동시에 정확히 반으로 나눌 수 있을까요?
이야기
nieznany/unknown
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1930년대 폴란드 르부프의 스코틀랜드 카페. 수학자들이 모여 앉아 문제를 내고 상금을 걸었습니다. 상금은 맥주 한 잔, 때로는 살아 있는 거위 한 마리였습니다. 주인이 맡아 둔 두꺼운 공책에 문제와 답을 적었는데, 이것이 유명한 「스코틀랜드 책」입니다.
이 문제를 그 공책에 적은 사람은 슈타인하우스이고, 푼 사람은 바나흐였습니다.
그런데 이 정리는 「자를 수 있다」만 말하고 「어디를 자르는지」는 한마디도 하지 않습니다. 칼자국이 반드시 있다는 것은 알지만 그 자리를 찾아 주지는 않습니다. 수학에는 이런 정리가 뜻밖에 많습니다.
까닭은 칼을 천천히 돌려 보면 보입니다. 어떤 방향으로든 햄을 반으로 가르는 칼금은 있습니다. 그 칼금이 위쪽 빵을 얼마나 더 많이 가르는지 적어 두십시오.
칼을 180도 돌리면 같은 칼금이 위아래만 뒤집힌 것이 되므로 그 값의 부호가 반대가 됩니다. 값이 이어지며 양에서 음으로 건너가기 때문에 도중에 반드시 0을 지납니다. 그 자리가 답입니다.
선거구를 공평하게 나누는 문제에 이 계열의 정리가 쓰입니다.
「어떤 자료 뭉치든 한 번에 반으로 가르는 면이 있다」는 보장은 분산 처리에서 작업을 반씩 나누는 알고리즘의 근거가 됩니다. 다만 어디를 자를지는 알려 주지 않습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
팬케이크 둘을 한 줄로 자른다
종이에 삐뚤빼뚤한 팬케이크 두 개를 아무렇게나 그려 봅니다. 자를 대고 돌려 가며 움직여 보세요.
어떤 모양으로 그려져 있든 두 팬케이크의 넓이를 동시에 정확히 반으로 싹둑 자르는 하나의 직선을 언제나 그을 수 있습니다. 눈으로 확인하는 연속의 마술입니다.
칼 하나로 둘 다 반씩
어디에 있든 상관없습니다 — 이것이 놀라운 점입니다.
직관으로 그려 보기
기울기가 정해진 직선을 평행하게 천천히 이동시키면 한 덩어리의 넓이는 0%에서 100%로 연속적으로 변합니다. 따라서 중간값 정리에 의해 그 덩어리를 정확히 50%로 양분하는 직선이 유일하게 존재합니다.
이제 직선의 각도를 0도부터 180도까지 회전시키면서 두 번째 덩어리가 잘리는 비율을 관찰합니다. 180도 돌리면 양쪽 영역이 서로 뒤바뀌므로, 그 사이에서 두 번째 덩어리마저 50%가 되는 순간이 반드시 존재합니다.
차원과 덩이 수
그래서 「햄 샌드위치 정리」 라 부릅니다.
중간값 정리로 1·2차원
3차원 유클리드 공간 에 유한한 르베그 측도를 갖는 세 유계 가측 집합(빵 둘, 햄 하나)이 주어졌을 때, 세 집합을 동시에 이등분하는 평면 가 존재합니다.
이는 구면 위의 단위 법선 벡터 에 대해 정의된 연속함수 에 보르수크-울람 정리(Borsuk-Ulam Theorem)를 적용하여 증명됩니다. 가 되는 대척점이 존재하여 세 덩어리가 동시에 양분됩니다.
왜 되는가
중간에 반드시 0 을 지납니다 — 사잇값 정리입니다.
보르수크–울람
햄 샌드위치 정리는 차원 공간의 임의의 개 대상을 하나의 차원 초평면으로 동시 이등분하는 일반화된 위상수학적 조합론의 핵심 정리입니다.
계산 기하학에서 데이터 포인트 군집을 균등 분할하는 k-d 트리 알고리즘, 컴퓨터 그래픽스의 공간 이진 분할(BSP), 다자간 공평 분배(Fair Division) 프로토콜의 엄밀한 수학적 토대를 이룹니다.
보르숙–울람 정리
햄 샌드위치 정리는 이 정리의 딸입니다.
풀어 보기
햄 샌드위치 정리와 분할. 다음 물음에 답하시오.
(1) 2차원 평면 위에 놓인 임의의 모양의 두 도형을 단 하나의 직선으로 동시에 넓이를 이등분할 수 있는 근거가 되는 연속함수의 정리를 쓰시오.
(2) 좌표평면 위에 서로 다른 두 원 와 의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 방정식을 구하시오.
(3) 차원 공간에서 임의의 유계 가측 집합 개를 하나의 차원 초평면으로 항상 동시 이등분할 수 있는 집합의 최대 개수 를 으로 나타내시오.
(1) 중간값 정리(사이값 정리)입니다. (2) 중심 (1,0)과 (5,6)을 지나는 직선 입니다. (3) 개입니다.
답과 풀이 보기
(1) 중간값 정리(사이값 정리)입니다.
방향을 하나 정하고 그 방향의 직선을 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝으로 밀어 갑니다. 그러면 첫째 도형을 정확히 반으로 자르는 자리가 방향마다 하나씩 정해집니다.
그 직선이 둘째 도형을 가르는 넓이의 차를 방향에 대한 함수로 보면, 방향을 돌렸을 때 부호가 뒤집힙니다.
연속인 함수가 양수에서 음수로 가려면 도중에 반드시 0 을 지납니다. 그 자리가 둘을 동시에 반으로 가르는 직선입니다.
(2) 입니다.
원의 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 중심을 지납니다. 그러니 두 중심 과 을 둘 다 지나면 됩니다.
기울기 이므로
확인 : → · → — 둘 다 지납니다.
⛔ 반지름 2 와 3 은 쓰이지 않습니다. 중심만 지나면 크기와 상관없이 반으로 갈립니다.
(3) 개입니다.
· 평면() — 직선 하나로 도형 둘
· 공간() — 평면 하나로 덩어리 셋
차원 하나에 자유도 하나가 생기고, 그것으로 조건 하나를 맞출 수 있기 때문입니다.
이름의 뜻은 이렇습니다 — 빵 두 조각과 햄 한 장이 식탁 위에 아무렇게나 흩어져 있어도, 칼을 한 번 내리쳐 세 가지를 모두 정확히 반으로 가를 수 있습니다.
빵이 부서져 있어도, 햄이 접혀 있어도 됩니다. 어디를 어떻게 자르는지는 알려 주지 않지만, 그런 자리가 있다는 것만은 확실합니다.
더 멀리
「반드시 있다」만 말하는 증명이 수학에는 많습니다.
- 보르수크·울람 정리 — 이 정리의 뿌리입니다. 지구 반대편에 온도와 기압이 같은 두 점이 있습니다
- 선거구 나누기 — 공정하게 나누는 문제에 비슷한 수학이 쓰입니다
- 중간값 정리 — 1차원 판이 바로 이것입니다
이어지는 장
공간을 연속적으로 변형해도 반드시 제자리를 지키는 점이 있듯, 단 한 번의 평면 칼질로 세 부피를 동시에 이등분합니다 — 제127장 의 위상수학적 부동점 정리가 식탁 위의 샌드위치를 가르는 손길로 이어집니다.
영감을 받은 곳
스타니스와프 울람(Stanislaw Ulam)이 제안하고 스테판 바나흐(Stefan Banach)가 1938년 보르수크-울람 정리를 응용해 증명했습니다.