별과 정리 · 제34장 · 1부 · 누구나 손댈 수 있는 것

보이는 나무

격자 과수원에서 원점에서 보이는 나무의 비율

과수원의 가려지는 나무들

바둑판처럼 규칙적으로 나무가 심겨 있는 과수원의 한가운데 (0, 0)에 서서 둘러보세요.

가까운 나무에 가려져 보이지 않는 나무들이 생깁니다. 어떤 자리의 나무는 보이고 어떤 자리의 나무는 가려질까요? 보이는 나무의 비율은 얼마나 될까요?

이야기

바둑판처럼 나무가 심긴 과수원 한가운데 서 있다고 해 보십시오. 앞줄 나무에 가려 안 보이는 나무가 생깁니다. (2,2)는 (1,1)에 가리고, (4,6)은 (2,3)에 가립니다. 가로와 세로가 서로소일 때만 보입니다.

공약수가 있으면 그 비율을 줄인 더 가까운 나무가 정확히 같은 방향에 서 있기 때문입니다.

그런데 여기서 뜻밖의 것이 나옵니다. 보이는 나무의 비율을 셈하면 6 나누기 원주율의 제곱, 약 60.8%입니다. 나무를 세고 있었는데 원주율이 튀어나온 것입니다. 과수원에는 둥근 것이 하나도 없는데 말입니다.

왜 그럴까요. 두 수가 동시에 2로 나누어질 확률은 4분의 1, 3으로 나누어질 확률은 9분의 1, 5로는 25분의 1입니다. 소수 p마다 p의 제곱분의 1입니다.

그러니 서로소일 확률은 모든 소수에 걸쳐 「그렇지 않을 몫」을 곱한 것이 되는데, 제곱의 역수를 다 더한 값이 원주율의 제곱을 6으로 나눈 것이기 때문에 그 뒤집힌 값이 답이 됩니다. 제곱수의 합에서 원이 들어오는 것입니다.

오늘 이것이 하는 일

화면에 선을 그리는 방식과 닿아 있습니다. 격자점이 보이느냐 가려지느냐는 두 수가 서로소인가로 정해집니다.

컴퓨터 그래픽에서 직선을 픽셀로 옮기는 알고리즘, 톱니바퀴가 고르게 닳도록 잇수를 서로소로 잡는 설계에 같은 원리가 쓰입니다.

계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로

초4 · 초5 — 손으로 해 본다

모눈에 점을 찍고 가려지는 것을 표시

모눈종이에 (0, 0) 자리를 정하고, (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 4) 등에 점을 찍어 원점과 자로 이어 보세요.

(1, 1)을 지나는 직선은 (2, 2), (3, 3)을 그대로 가립니다. 반면에 (1, 2)나 (2, 3)은 앞에 아무 점도 없어 원점에서 똑바로 보입니다. 가려지는 점과 보이는 점을 직접 색칠해 찾아보세요.

나무 사이로 보이나요

숲 격자 크기를 2×2에서 50×50으로 키우며 원점에서 가려지지 않는 나무 점을 센다

보이나 —최대공약수 —가리는 나무 —

가로 — 6

세로 — 4

나무가 2500그루로 빽빽해져서 앞이 꽉 막힐 줄 알았는데, 그런데 내가 볼 수 있는 나무 비율은 정확히 60.8%에서 멈추고 더 줄어들지 않는다
나무를 아무리 빽빽하게 심어도 열 그루 중 여섯 그루는 항상 내 눈에 보인다

중1 · 중2 — 까닭을 찾는다

서로소일 때만 보인다

원점 (0, 0)에서 점 가 보이려면, 원점과 그 점을 잇는 선분 위에 다른 정수점이 없어야 합니다.

만약 와 의 최대공약수가 이라면 선분 위에 점 가 있어 시야를 가립니다. 따라서 원점에서 나무가 보일 필요충분조건은 와 가 서로소()인 것입니다.

몇 그루나 보일까요

나무 좌표 (x, y)를 클릭하여 시선 벡터를 긋고 최대공약수 gcd(x,y)가 1인지 2 이상인지 불빛을 켠다

보이는 비율 % —숲의 크기 —6/π² —

숲의 크기 n — 100

(2,4)나 (3,6) 같은 나무는 앞 나무에 가려져 안 보이는데, 그런데 gcd(x,y)=1인 나무는 앞선 어떤 나무와도 시선이 겹치지 않고 온전히 보인다
가로세로 좌표 숫자의 약수가 서로 안 겹치는 나무만 내 눈에 쏙 들어온다

고1 · 고2 — 넓혀 본다

비율이 6/π² 인 것

임의로 고른 두 자연수 가 서로소일 확률을 계산해 봅니다. 어떤 소수 가 두 수를 동시에 나누지 않을 확률은 입니다.

모든 소수에 대해 이 확률을 곱하면 오일러의 곱 공식에 의해 가 됩니다. 즉 과수원 나무의 약 60.8%가 보입니다.

왜 6/π² 일까요

격자 크기 N을 10에서 1000까지 키우며 서로소일 확률 누적 막대와 1/ζ(2) = 6/π² 기준선을 본다

남는 비율 —6/π² —어느 소수까지 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

어느 소수까지 — 7

견줄 자리 pb — 24

나무 격자판 어디에도 원이나 곡선이 전혀 없는데, 그런데 무작위 두 좌표가 서로소일 확률을 끝까지 계산하면 원주율 π가 든 6/π²(60.79%)이 정밀하게 솟아난다
네모 반듯한 모눈종이 숲을 보는데 원주율 파이가 비밀 암호처럼 튀어나온다

대학 — 어디까지 가나

제타 함수

이 문제는 격자점의 가시성(Lattice Visibility) 문제로서 리만 제타 함수 의 특수값과 밀접하게 연결됩니다. 차원 정수 격자 에서 원점에서 보이는 점의 밀도는 정확히 입니다.

이러한 수론적 확률론은 디오판토스 근사론 및 에르고딕 이론, 양자 혼돈계(Quantum Chaos)에서 입자의 궤적 분포를 연구하는 첨단 통계물리학의 핵심 도구로 활용됩니다.

차원을 늘려 보세요

공간 차원을 d=2(평면), d=3(입체 공간), d=4로 올리며 원점에서 보이는 점의 비율을 비교한다

보이는 비율 —차원 —ζ(d) —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

차원 d — 3

견줄 자리 db — 8

2차원 평면에서는 60.8%만 보이고 40%가 가려졌는데, 그런데 3차원 입체 공간에서는 1/ζ(3) ≈ 83.2%, 4차원에서는 1/ζ(4) = 90/π⁴ ≈ 92.4%로 차원이 오를수록 시야가 뻥 뚫린다
3차원 우주로 올라가면 앞 사람에게 가려지는 나무가 10그루 중 1~2그루로 확 줄어든다

풀어 보기

중학교 · 고등학교 수준 · 답은 검산을 마쳤습니다

보이는 격자점과 서로소. 원점 에서 격자점 ( 는 양의 정수)를 바라본다.

(1) 점 와 중 원점에서 바로 보이는 점을 고르고 그 까닭을 설명하시오.
(2) 인 9개의 격자점 중 원점에서 보이는 점의 개수를 구하시오.
(3) 두 정수가 서로소일 확률이 일 때, 로 두고 보이는 점의 비율을 백분율(소수 첫째 자리까지)로 구하시오.

(2) (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)의 7개 점이 서로소입니다.

답과 풀이 보기

(1) (3, 5) 가 보입니다.
는 이라 절반인 나무에 정확히 가려집니다. 는 이라 사이에 격자점이 없어 보입니다.

(2) 서로소인 것만 세면
(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) — 7 개입니다.
안 보이는 것은 와 둘로, 모두 에 가려집니다.

(3) → 약 60.9%

나무를 세는 문제인데 원주율이 나옵니다. 그림 어디에도 원은 없는데 말입니다. 수학에서 가장 즐거운 순간은 이렇게 엉뚱한 데서 옛 친구를 만날 때입니다. 보이는 나무를 세는 일이 곧 서로소인 두 수를 세는 일이고, 그것이 다시 소수의 짜임을 묻는 일이 되기 때문에 원주율이 끼어듭니다.

만지는 수학으로 손에 쥐어 보기

이 장과 이어지는 「만지는 수학」 칼럼입니다. 손끝으로 직접 끌고 눌러 보며 같은 생각을 몸으로 겪을 수 있습니다.

좌표와그래프중1 약수와배수초5

더 멀리

「서로소일 확률」은 여러 곳에서 쓰입니다.

분수 약분 — 아무 분수나 골랐을 때 이미 기약분수일 확률이 약 61%입니다
제타 함수 — 이 61%라는 값은 수론의 깊은 곳과 이어져 있습니다
직접 세기 — 모눈종이에 10×10 격자를 그리고 가려지는 점을 표시해 보세요

이어지는 장

원점에서 나무가 보이려면 가로와 세로 좌표가 서로소여야 하듯, 두 수의 최대공약수를 빠르게 찾아 서로소인지 판별하는 가장 오래된 알고리즘이 있습니다 — 제76장에서 2300년 전 유클리드가 찾은 명쾌한 해법을 배워보세요.

영감을 받은 곳

헤르만 민코프스키가 1896년 출간한 명저 『수의 기하학』(Geometrie der Zahlen)에서 정수 격자와 소수의 분포를 결합하여 격자점 가시성 정리를 규명한 연구에서 유래했습니다.