잘게 잘라 더하면 넓이가 된다

모눈종이에 접시나 나뭇잎을 대고 테두리를 따라 그립니다. 그리고 안에 들어간 칸을 셉니다.

테두리에 걸친 칸은 어떻게 할까요. 절반쯤 들어왔으면 반 칸으로 세어 봅니다. 그러면 넓이가 대충 나옵니다.

이제 더 작은 모눈으로 같은 일을 해 보세요. 걸친 칸이 줄어들어 답이 더 정확해집니다. 잘게 자를수록 참값에 가까워집니다.

곡선 아래를 가는 직사각형으로 채웁니다. 직사각형의 높이를 곡선보다 낮게 잡으면 넓이가 참값보다 작고, 높게 잡으면 참값보다 큽니다.

그러니 참값은 그 사이에 있습니다. 직사각형을 가늘게 할수록 위아래 두 값이 서로 다가옵니다.

두 값이 같은 수로 만나면 그 수가 넓이입니다. 위아래에서 조여 가두는 것입니다.

구간을 등분해 더한 것을 리만 합이라 하고, 의 극한을 로 씁니다.

그런데 실제로 넓이를 구할 때는 극한을 계산하지 않습니다. 미적분의 기본정리 덕분입니다 — , 여기서 는 미분하면 가 되는 함수입니다.

넓이 구하기가 미분의 거꾸로가 되는 것 — 이것이 미적분학의 심장입니다. 따로 자란 두 물음이 한 몸이었습니다.

리만의 방법은 가로로 잘라 더합니다. 그런데 함수가 너무 험하면 가로로 잘라서는 값이 정해지지 않습니다.

1902년 르베그가 방향을 바꿉니다. 세로로 — 곧 「함숫값이 이만한 자리가 얼마나 되나」로 세는 것입니다. 그는 이것을 「동전을 액면별로 세는 것」에 비유했습니다.

그러려면 「자리가 얼마나 되나」를 잴 수 있어야 하고, 거기서 측도론이 태어납니다. 제146장 의 「부피를 잴 수 없는 조각」이 바로 이 이야기의 뒷면입니다.