별과 정리 · 제118장 · 2부 · 조금 자란 뒤에

e — 이자를 잘게 쪼개면

The Number e

이자를 아무리 자주 붙여도 2.718…을 못 넘는다

복리 이자를 초 단위로 쪼개 보세요

1년에 이자를 100% 주는 은행이 있다고 합시다. 1원을 넣으면 1년 뒤 2원입니다. 반년마다 50%씩 두 번 받으면 2.25원. 석 달마다 25%씩 네 번이면 2.44원.

쪼갤수록 늘어납니다. 그렇다면 매일, 매초, 더 잘게 쪼개면 어떻게 될까요? 끝없이 불어날까요?

이야기

e — 이자를 잘게 쪼개면 — 쪼갤수록 늘어나지만 늘어나는 폭이 점점 줄어든다

야코프 베르누이 초상 — 야코프 베르누이
Niklaus Bernoulli (1662-1716)
Public domain · 위키미디어 공용

은행에 만 원을 넣었는데 이자가 연 100%랍니다. 일 년 뒤 이만 원이 됩니다.

그런데 반년마다 50%씩 준다면? 반년 뒤 1.5만, 일 년 뒤 2.25만입니다. 더 많습니다.

분기마다 25%씩이면 2.44만. 매달이면 2.61만. 매일이면 2.71만.

그러면 매 순간 이자를 붙이면 무한히 커질까요? 아닙니다. 아무리 잘게 쪼개도 2.71828… 을 넘지 못합니다.

이 값이 e 입니다. 자연상수라고도 합니다.

야코프 베르누이가 1683년에 이 문제를 다루며 값이 2와 3 사이임을 알아냈습니다. 정확한 값과 이름은 나중에 오일러가 붙였습니다.

e 는 π 처럼 무리수이고 초월수입니다. 그리고 미분해도 자기 자신인 유일한 함수 를 낳습니다. 그래서 자라고 줄어드는 모든 것에 e 가 나타납니다.

이 수를 처음 만난 사람은 야코프 베르누이입니다. 1683년, 이자를 잘게 쪼개면 얼마나 불어나는지를 셈하다가였습니다. 그는 그 값이 2와 3 사이에 갇힌다는 것까지 알았지만 정확한 값은 구하지 못했습니다.

e라는 이름은 1731년 오일러가 붙였습니다. 자기 이름의 첫 글자를 딴 것이라는 말이 있지만, a·b·c·d 다음에 비어 있던 글자를 골랐을 뿐이라는 쪽이 더 그럴듯합니다.

오늘 이것이 하는 일

자라고 줄어드는 모든 것에 e 가 있습니다. 복리 이자, 방사성 붕괴, 커피가 식는 속도, 인구 증가, 약이 몸에서 빠지는 속도.

대출 이자를 계산하는 식, 전염병 확산 모형, 배터리 방전 곡선이 모두 꼴입니다.

계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로

초4 · 초5 — 손으로 해 본다

이자를 나눠 붙여 셈해 본다

원금 1원에 연이율 100%를 복리로 받는 계산을 해 봅니다. 1년에 한 번 받으면 (1+1)=2원입니다. 6개월마다 받으면 원입니다.

매달 받으면 원, 매일 받으면 원이 됩니다. 쪼갤수록 통장 잔고가 늘어나지만 2.718... 근처에서 브레이크가 걸리듯 멈춥니다.

이자를 잘게 쪼개 보세요

연 100% 이자를 지급하는 주기를 1년(1회)→매월(12회)→매일(365회)→매초(31536000회)로 쪼갠다

1 년 뒤 —e —모자란 값 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

쪼갠 횟수 n — 1

견줄 자리 nb — 8000

이자를 매초마다 복리로 쪼개 받으면 돈이 억만장자로 불어날 줄 알았는데, 그런데 2.71828... 원 벽에 부딪혀 1원도 더 못 넘는다
1초마다 이자를 달라고 졸라도 통장 잔고는 2.71배에서 딱 멈춘다

중1 · 중2 — 까닭을 찾는다

표로 다가가는 값 보기

이자를 1년에 번으로 나누어 붙이면 1년 뒤 원리합금은 이 됩니다.

이 10, 100, 1000, 10000으로 커짐에 따라 값은 2.5937, 2.7048, 2.7169, 2.7181로 점점 촘촘하게 어떤 특정한 상수를 향해 다가갑니다. 야코프 베르누이가 발견하고 오일러가 기호 로 이름 붙인 자연로그의 밑입니다.

이자율을 바꿔 보세요

(1 + 1/n)^n 식을 n=1, 2, 5, 10 으로 이항정리 전개하여 각 항 1/k! 막대를 쌓는다

n 번 나눈 결과 —연속 복리 e^r —차이 —

이자율 — 100%

쪼갠 횟수 — 12

복리 곱셈식이 엄청나게 복잡해 보였는데, 그런데 전개해보면 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24... 팩토리얼 역수들의 단순한 덧셈 계단으로 분해되어 수렴한다
복잡한 복리 계산을 쪼개어 펼치면 계단식 분수 더하기로 깔끔하게 정돈된다

고1 · 고2 — 넓혀 본다

극한으로 e 정의

극한식 으로 정의됩니다. 이항정리로 전개하면 테일러 급수 을 얻습니다.

지수함수 는 미분해도 자기 자신이 되는 유일한 함수 입니다. 성장 속도가 현재 크기에 정비례하는 자연계의 모든 연속 성장 모델의 기준이 됩니다.

계승의 역수로 더해 보세요

지수함수 a^x 의 밑 a를 2, 2.718(e), 3으로 바꾸며 x=0에서의 접선의 기울기(순간변화율)를 본다

더한 값 —e —차이 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

항 수 n — 0

견줄 자리 nb — 16

밑이 2일 땐 기울기가 0.693이고 3일 땐 1.098인데, 그런데 밑이 정확히 e=2.71828일 때만 접선의 기울기가 단 0.0001의 오차도 없이 정확히 1이 된다
밑을 2.718로 맞추는 순간 접선의 기울기가 마법처럼 1로 딱 맞아떨어진다

대학 — 어디까지 가나

지수함수와 미분

상수 는 1737년 오일러에 의해 무리수임이 증명되었고, 1873년 샤를 에르미트에 의해 초월수임이 증명되었습니다.

미분방정식 의 해와 복소 지수함수를 엮는 오일러 공식 은 전기전자공학의 교류 신호 분석, 양자역학의 파동함수, 푸리에 변환의 절대적 표준 언어입니다.

e 를 나눠 곱해 보세요

복소평면에서 복소 지수함수 e^(iθ) = cos θ + i sin θ 슬라이더를 θ=0부터 π까지 회전시킨다

조각의 곱 —가장 좋은 조각 수 n/e —한 조각의 크기 —

나눌 수 n — 10

조각 수 k — 3

자연상수 e, 허수 단위 i, 원주율 π 라는 서로 완전히 딴 세상의 세 거인이 만났는데, 그런데 복소평면을 반 바퀴 돌자 정확히 정수 -1이라는 가장 단순한 점으로 수렴해 안착한다
서로 다른 별에서 온 숫자 5개가 복소수 시계바늘을 반 바퀴 돌리자 딱 0으로 만난다

풀어 보기

중학교 · 고등학교 수준 · 답은 검산을 마쳤습니다

복리 계산과 자연상수 e. 원금 1원에 대해 연이율 100%로 1년에 번 복리 계산을 한다.

(1) 1년에 4번(분기별) 복리로 계산할 때의 원리합계 의 값을 소수로 구하시오.
(2) 급수 의 값을 소수 셋째 자리까지 계산하시오.
(3) 지수함수 의 도함수 를 구하시오.

(1) , (2) , (3) 입니다.

답과 풀이 보기

(1) 원입니다.
한 번에 몰아 받으면 원인데, 네 번으로 쪼개니 2.44 원이 되었습니다.
· 12 번 : · 365 번 :
쪼갤수록 늘지만 끝없이 늘지는 않습니다.

(2) 2.708 입니다.

다섯 항만으로 에 소수 둘째 자리까지 다가섰습니다. 이 급수는 아주 빨리 수렴합니다.

(3) 입니다.
합성함수의 미분법으로 안쪽 를 미분한 3 이 앞으로 나옵니다.
⭐ 는 미분해도 자기 자신인 유일한 함수입니다. 그래서 는 미분해도 모양이 그대로이고 3 만 붙습니다.

야코프 베르누이가 1683 년에 「이자를 무한히 잘게 쪼개면 얼마가 될까」를 물었습니다. 답은 2.718… 원 — 그 이상은 안 됩니다.
돈 문제에서 나온 이 수가 인구·방사능·냉각·이자·확률 어디에나 나타납니다. 스스로의 크기에 비례해 변하는 것은 모두 이 수를 씁니다.

여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.

고2-2 01 함수의 극한과 연속

만지는 수학으로 손에 쥐어 보기

이 장과 이어지는 「만지는 수학」 칼럼입니다. 손끝으로 직접 끌고 눌러 보며 같은 생각을 몸으로 겪을 수 있습니다.

지수함수와로그함수고2

더 멀리

e 는 「변화」를 다루는 곳마다 있습니다.

복리와 대출 — 연속 복리 계산에 쓰입니다
방사성 붕괴·냉각 — 자연스러운 감소는 모두 꼴입니다
오일러 항등식 — 에서 e 가 주인공입니다

이어지는 장

이자를 아무리 잘게 쪼개 붙여도 넘을 수 없는 자연로그의 밑 는, 훗날 허수 와 원주율 를 만나 수학 역사상 가장 경이로운 한 줄의 식을 빚어냅니다 — 제147장 에서 다섯 상수가 어우러지는 절정을 미리 살펴보세요.

이어지는 자료

고2 · 함수의극한 — 다가가 보기 — 도착하지 않고도 아는 것만지는수학 미적1 함수의극한과연속 단원살아있는수학교과서

영감을 받은 곳

야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)가 1683년 복리 이자 셈의 극한에서 상수 를 발견하고, 레온하르트 오일러가 1748년 『무한해석 입문』(Introductio in analysin infinitorum)에서 기호와 급수 전개를 체계화했습니다.