요일 계산
생년월일만 대면 요일이 나옵니다
1945년 8월 15일, 광복절은 무슨 요일이었을까요? 내년 내 생일은요?
수학자 존 콘웨이는 날짜를 듣고 2초 안에 답했습니다. 달력도 종이도 없이, 머릿속으로만 했습니다. 그는 날짜에서 무엇을 본 것일까요?
이야기
내 생일이 무슨 요일이었는지 아십니까? 달력을 안 보고도 알 수 있습니다.
수학자 존 콘웨이가 만든 방법이 있습니다. 열쇠는 이것입니다 — 한 해 안에서 같은 요일이 되는 날들이 있습니다.
4월 4일, 6월 6일, 8월 8일, 10월 10일, 12월 12일 — 이 다섯은 언제나 같은 요일입니다. 외우기도 쉽습니다. 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12.
여기에 5월 9일과 9월 5일, 7월 11일과 11월 7일도 같은 요일입니다. “구·오·칠·십일”로 외웁니다.
이 요일을 그해의 기준 요일이라 합시다. 기준 요일만 알면 나머지 날짜는 7로 나눈 나머지로 셈할 수 있습니다.
왜 되는 것일까요? 요일은 7일마다 되풀이되기 때문입니다. 날짜 차이를 7로 나눈 나머지만 알면 요일이 정해집니다. 시계 산수와 같은 이야기입니다.
🚩 그런데 이 방법을 만든 존 콘웨이는 스스로를 훈련시키는 방법이 유별났습니다. 그는 컴퓨터를 켤 때마다 날짜 문제 열 개를 풀어야 로그인되도록 설정해 두었습니다. 매일 몇 번씩 강제로 연습한 것입니다. 나중에 그는 몇 초 만에 아무 날짜의 요일을 말할 수 있게 되었습니다.
컴퓨터가 날짜를 다루는 방식입니다. 윤년 규칙과 요일 계산은 모든 달력 프로그램의 바탕입니다.
여기서 실수하면 큰일이 납니다 — 2012년 윤년 처리 오류로 세계의 여러 서비스가 하루 종일 멈춘 적이 있습니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
내 생일 요일을 맞혀 본다
일주일은 7일이므로 날짜에 7을 더하거나 빼도 요일은 변하지 않습니다. 달력에서 같은 요일인 날짜들을 찾아보세요.
어떤 해든 4월 4일, 6월 6일, 8월 8일, 10월 10일, 12월 12일은 항상 완벽하게 똑같은 요일이 됩니다. 이 짝수 달의 '기준 요일'만 외워두면 생일 요일을 손가락으로 금방 꼽아 맞힐 수 있습니다.
날짜를 넣어 요일을 구해 보세요
달력을 안 봐도 셈으로 요일이 나옵니다.
7로 나눈 나머지
짝수 달의 쌍둥이 날짜(4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12)와 홀수 달의 기준 날짜(5/9, 9/5, 7/11, 11/7, 3/14, 2월의 마지막 날)는 매년 항상 같은 기준 요일(둠스데이)을 공유합니다.
그 해의 둠스데이 요일 하나만 알면 알고 싶은 날짜와의 날짜 차이를 7로 나눈 나머지(모듈로 7)만큼 요일을 앞으로 밀거나 당겨서 모든 요일을 정확하게 암산할 수 있습니다.
윤년을 세어 보세요
1900 년은 윤년이 아니고 2000 년은 윤년입니다.
윤년 규칙과 합동식
연도별 둠스데이는 그레고리력의 윤년 규칙과 합동식(Modular Arithmetic)으로 계산됩니다. 1년(365일)은 이므로 매년 요일이 1일씩 밀리고, 윤년에는 2일씩 밀립니다.
연도 의 끝 두 자리를 라 할 때 연도 오프셋은 로 계산되며, 400년 주기로 요일 패턴이 완벽하게 순환하는 달력의 대수적 구조를 이룹니다.
달력이 되풀이됩니다
400 년 = 146,097 일 = 20,871 주 딱 떨어짐 — 그레고리력의 아름다움입니다.
달력의 수학
콘웨이의 둠스데이 알고리즘은 복잡한 달력 체계를 모듈러 군 연산의 대수적 구조화로 승화시킨 지적 유희이자 실용적 걸작입니다.
컴퓨터 시스템의 유닉스 시간(POSIX time) 계산, 천문학의 율리우스 적일(Julian Day Number) 변환, 시계열 데이터베이스의 날짜 인덱싱 알고리즘의 밑바탕에 이와 같은 합동식 기반 날짜 산술 체계가 깊숙이 작동하고 있습니다.
13일의 금요일
일요일·화요일이 687 번으로 가장 적습니다 — 400 년이 7 로 안 나뉘기 때문입니다.
풀어 보기
둠스데이 요일 계산법. 어떤 해의 기준 요일(둠스데이)이 '화요일'이라고 하자. (4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12 및 7/11, 9/5 등이 모두 화요일이다)
(1) 그 해 8월 15일의 요일을 8월 8일(화요일)을 기준으로 계산하시오.
(2) 그 해 10월 25일의 요일을 10월 10일(화요일)을 기준으로 계산하시오.
(3) 평년에서 다음 해로 넘어갈 때 같은 날짜의 요일은 며칠씩 밀리는지 쓰고, 윤년에는 며칠씩 밀리는지 쓰시오.
(1) 8/15는 8/8에서 +7일이므로 화요일입니다. (2) 10/25는 10/10에서 +15일(+1)이므로 수요일입니다.
답과 풀이 보기
(1) 화요일입니다.
이고 의 나머지가 0 이므로 꼭 한 주 뒤 — 요일이 그대로입니다.
(2) 수요일입니다.
이고 이므로 1 일만큼 밀립니다.
화요일 + 1 = 수요일.
(3) 평년은 1 일, 윤년은 2 일 밀립니다.
· 이기 때문입니다.
그래서 생일 요일은 해마다 하루씩 늦춰지다가 윤년을 지나면 이틀이 건너뜁니다.
이 방법을 만든 존 콘웨이는 컴퓨터를 켤 때마다 요일 문제를 풀어야 열리게 해 두고 2 초 안에 답했다고 합니다.
4/4 · 6/6 · 8/8 · 10/10 · 12/12 가 모두 같은 요일이라는 것만 외우면 누구나 암산으로 요일을 맞힐 수 있습니다.
더 멀리
달력에는 수학이 가득합니다.
- 윤년 규칙 — 4로 나누어떨어지면 윤년, 100이면 아니고, 400이면 다시 윤년입니다
- 합동식 — 7로 나눈 나머지를 다루는 것이 곧 요일 계산입니다
- 연습 — 올해의 기준 요일 하나만 외우면 아무 날짜나 맞힐 수 있습니다
이어지는 장
7일 주기로 규칙적으로 돌아가는 달력의 날짜를 기준 요일(둠스데이)과의 차이로 순식간에 계산해 내는 원리는, 12시간마다 제자리로 돌아오는 시계 바늘의 합동식을 다룬 제93장 의 모듈로 연산이 우리 일상에서 가장 멋지게 쓰이는 모습입니다.
이어지는 자료
영감을 받은 곳
영국의 수학자 존 호턴 콘웨이(John Horton Conway)가 1973년 고안하여 발표한 둠스데이 알고리즘(Doomsday rule)으로, 그레고리력의 임의의 날짜에 해당하는 요일을 머릿속으로 빠르게 셈할 수 있도록 만든 실용적인 암산법입니다.