심슨 선
세 수선의 발이 일렬로 서는 순간
삼각형 ABC의 외접원을 그리고, 원 둘레 위에 점 P를 아무 데나 하나 잡으세요. 점 P에서 삼각형의 세 변(또는 연장선)으로 수선을 똑바로 내립니다.
세 변과 만나는 세 수선의 발에 자를 대어 보세요. 삼각형 주위에 흩어진 세 점이 왜 조금의 굽음도 없이 완벽한 하나의 곧은 직선 위에 늘어설까요?
이야기
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삼각형 ABC 와 그 외접원을 그립니다. 이제 외접원 위에 점 P 를 하나 잡습니다.
P 에서 세 변(또는 그 연장선)에 수선을 내려 발 셋을 찍습니다.
그 세 점이 한 직선 위에 놓입니다.
P 를 원 위에서 어디로 옮겨도 그렇습니다. 다만 원 위에 있어야만 합니다. 원 안이나 밖으로 나가면 세 점이 삼각형을 이룹니다.
이 직선을 심슨 선이라 합니다. 그런데 이름이 잘못 붙었습니다. 로버트 심슨은 이것을 발표한 적이 없고, 실제로는 윌리엄 월리스가 1799년에 냈습니다. 그래서 「월리스 선」이라 부르기도 합니다.
재미있는 성질이 더 있습니다. P 를 원 위에서 한 바퀴 돌리면, 심슨 선은 반 바퀴만 돕니다. 그리고 이 선들이 만드는 포락선은 세 꼭짓점을 지나는 아름다운 곡선이 됩니다.
바로 쓰이는 곳은 없습니다. 「원 위일 때만 참」이라는 조건이 아름다운 정리입니다.
대신 이름에 관한 교훈이 있습니다 — 이것을 낸 사람은 심슨이 아니라 월리스입니다. 이름이 잘못 붙어도 백 년 넘게 고쳐지지 않았습니다. 「모두가 그렇게 부른다」가 근거는 아닙니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
원 위 한 점에서 발 셋을 내린다
삼각형 바깥을 감싸는 원을 하나 그리고 원 위의 한 점을 고릅니다. 그 점에서 세 변을 향해 수직으로 반듯하게 선을 긋습니다.
변과 만난 발 세 개를 찾아 자를 대어 보면 마술처럼 세 점이 일직선으로 이어집니다. 점이 원 위에 있을 때만 나타나는 놀라운 정렬입니다.
수선의 발 셋을 이어 보세요
조금만 벗어나도 삼각형이 됩니다.
점을 찍고 수선의 발 셋을 이어 본다
세 수선의 발이 한 직선 위에 있다는 것은 두 각의 합이 180도(평각)를 이룸을 보이면 됩니다. 수선이 만든 직각들 덕분에 네 점이 한 원 위에 있는 사각형들이 여럿 생겨납니다.
원주각의 크기가 같다는 성질을 이용하여 각들을 차례차례 옮겨 가면 맞꼭지각의 크기가 같아져 세 점이 꺾이지 않고 곧게 펴진 하나의 직선을 이룸이 증명됩니다.
벗어나면 어떻게 되나
그래서 「원 위인지 재는 잣대」 가 됩니다.
원주각으로 증명
삼각형 ABC의 외접원 위의 점 P에서 내린 세 수선의 발을 라 하면, 가 공선점(Collinear)을 이룰 필요충분조건은 점 P가 정확히 삼각형의 외접원 위에 위치하는 것입니다.
이 직선을 심슨 선(Simson Line)이라 부릅니다. 점 P와 삼각형의 수심 를 잇는 선분 PH의 중점은 언제나 구점원 위에 놓이며, 심슨 선은 선분 PH를 정확히 수직이등분하며 통과합니다.
두 심슨 선의 각
점이 한 바퀴 돌면 심슨 선은 반 바퀴 돕니다.
등각켤레
심슨 선은 등각켤레점(Isogonal Conjugate)과 사영기하학적 포락선 이론의 핵심 주제입니다. 점 P가 외접원을 한 바퀴 회전할 때 심슨 선들의 포락선(Envelope)은 완벽한 델토이드(Deltoid, 삼첨 하이포사이클로이드) 곡선을 그립니다.
기하학적 광학의 반사 초점 해석, 카우스틱(Caustics) 광선 집중 곡선 분석 및 로봇 시각의 삼각측량 오차 보정에 고전적이고도 우아한 수학적 모델을 제공합니다.
심슨 선이 그리는 곡선
슈타이너 델토이드 — 구점원에 안쪽으로 접합니다.
풀어 보기
심슨 선의 성질. 삼각형 ABC의 외접원 위의 점 P에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 라 하자.
(1) 세 점 가 한 직선(심슨 선) 위에 놓이기 위한 점 P의 기하학적 위치 조건을 쓰시오.
(2) 점 P가 꼭짓점 A와 일치할 때, 심슨 선은 꼭짓점 A에서 대변 BC에 내린 어떤 선과 일치하는지 쓰시오.
(3) 삼각형의 수심을 H라 할 때, 심슨 선이 선분 PH와 만나는 교점이 위치하는 유명한 원의 이름을 쓰시오.
(1) 삼각형 ABC의 외접원 둘레 위입니다. (2) 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선입니다. (3) 구점원입니다.
답과 풀이 보기
(1) 점 P 가 삼각형 ABC 의 외접원 위에 있을 때입니다.
⭐ 이때만 세 수선의 발이 한 직선에 놓입니다. P 가 원 안이나 밖에 있으면 세 점이 삼각형을 이룹니다 (이것을 수족삼각형이라 합니다).
그러니 심슨 선은 「원 위에 있음」을 알아보는 자이기도 합니다.
(2) 꼭짓점 A 에서 변 BC 에 내린 수선(높이)과 일치합니다.
P 가 A 와 겹치면
· 변 AB 에 내린 발 → A 자신
· 변 CA 에 내린 발 → A 자신
· 변 BC 에 내린 발 → 수선의 발
세 점이 A 와 그 수선의 발뿐이므로, 심슨 선은 그 둘을 잇는 직선 — 곧 높이입니다.
(3) 구점원입니다.
심슨 선은 선분 를 정확히 이등분하고, 그 중점이 구점원 위에 놓입니다.
⭐ P 가 외접원을 한 바퀴 돌 때 이 중점도 구점원을 한 바퀴 돕니다. 외접원과 구점원이 심슨 선을 통해 이어져 있습니다.
1797 년 윌리엄 월리스가 찾았는데, 어쩌다 로버트 심슨의 이름이 붙었습니다. 심슨은 이 정리를 본 적도 없습니다.
⭐ 더 놀라운 것 — P 가 원을 한 바퀴 도는 동안 심슨 선은 반 바퀴만 돕니다. 그리고 그 선들이 스치며 만드는 자국은 세 갈래로 뾰족한 곡선(델토이드)이 됩니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
「원 위일 때만 참」이라는 조건이 이 정리의 핵심입니다.
- 역도 참 — 세 발이 한 직선이면 P 는 외접원 위에 있습니다
- 델토이드 — 심슨 선들이 그리는 포락선은 세 뾰족점을 가진 곡선입니다
- 직접 그리기 — P 를 조금씩 옮기며 세 발을 찍어 자를 대어 보세요
이어지는 장
원 위의 점에서 삼각형 세 변에 내린 수선의 발이 꺾이지 않고 한 줄로 펴지는 까닭은 네 점이 한 원에 있기 때문입니다 — 제131장 의 원에 내접하는 사각형 성질이 세 점을 한 직선으로 꿰어 냅니다.
영감을 받은 곳
로버트 심슨의 이름으로 널리 알려졌으나, 실제로는 스코틀랜드 수학자 윌리엄 월리스(William Wallace)가 1799년 『The Mathematical Repository』에 처음 발표했습니다.