비비아니의 삼각형
못 믿겠으면 흔들어 보세요
정삼각형 안에 점을 하나 찍습니다. 그 점에서 세 변까지의 거리를 재어 모두 더합니다. 이제 점을 아무 데나 옮깁니다. 거리 셋은 제각각 바뀝니다. 그런데 더한 값은 꿈쩍도 하지 않습니다.
말로 들으면 안 믿깁니다. 그러니 직접 잡고 흔들어 보세요.
흔들어 보세요 — 점을 아무 데나 끌어도 됩니다
흔들린 폭이 0.00 입니다. 이제 「왜 안 바뀌지?」가 궁금해질 차례입니다 — 아래 중1·2 넓이 스위치를 눌러 보세요.
이야기
유스투스 수스테르만스, 1636
퍼블릭 도메인 · 위키미디어 공용
어두운 방입니다. 눈이 보이지 않는 노인이 천천히 말하고, 열여덟 살 소년이 그것을 받아 적습니다. 노인은 갈릴레오이고, 소년은 빈첸초 비비아니입니다. 1641년의 일입니다.
이듬해 갈릴레오는 눈이 먼 채 세상을 떠납니다. 별을 그렇게 오래 보던 사람이 마지막에는 아무것도 못 보았습니다. 그때 그의 눈이 되어 준 것이 이 소년이었습니다.
비비아니는 스승이 남긴 물음들을 평생 붙들었습니다. 그러다 정삼각형에서 이 균형을 발견합니다. 대단한 기계도 망원경도 필요 없었습니다. 삼각형 하나와 그 안의 점 하나면 되었습니다.
그런데 비비아니가 평생 매달린 일은 수학이 아니었습니다. 이단 판결을 받은 몸이라 갈릴레오는 제대로 된 무덤에 묻히지 못했습니다. 비비아니는 스승의 무덤을 세워 달라고 평생 청원했고, 끝내 허락을 못 받자 죽으면서 재산을 그 일에 남겼습니다.
갈릴레오가 산타크로체 성당으로 옮겨진 것은 세상을 떠난 지 아흔다섯 해 뒤였습니다. 그때 비비아니의 유해도 함께 옮겨져 스승 곁에 놓였습니다. 소년은 죽어서도 그 곁을 지킨 셈입니다.
갈릴레오는 이런 말을 남겼습니다.
우주라는 책은 수학의 언어로 쓰여 있다.
— 갈릴레오, 『시금자』 1623
이 책의 이름이 「별과 정리」인 까닭이 거기 있습니다. 별을 보던 사람의 제자가 찾아낸 정리로 첫 장을 엽니다.
한눈에
믿기 어렵습니다. 점을 꼭짓점 쪽으로 밀면 한 거리는 길어지고 다른 거리는 짧아지는데, 더하면 언제나 같은 값이 나옵니다. 이 균형을 설명하는 것이 이 장의 일입니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
같은 사실을 네 깊이로 나눠 놓았습니다. 다만 벽이 아닙니다 — 맨 위 만지개의 깊이 스위치를 올리면 같은 그림에서 위 학년이 보는 것이 켜집니다. 초4도 눌러 보세요.
맨 위 만지개로 올라가 점을 스무 번쯤 끌어 보세요. 「흔들린 폭」 칸을 지켜보세요. 계속 0.00 입니다.
종이에 정삼각형을 그리고 자로 재어 봐도 똑같습니다. 재는 자리마다 세 거리는 다른데 더하면 늘 같은 수가 나옵니다. 그 수를 삼각형의 높이와 견주어 보세요.
그다음 만지개의 「위 꼭짓점을 바깥으로 밀기」를 조금만 올려 보세요. 합이 흔들리기 시작합니다. 여러분이 방금 반례를 만든 것입니다.
여기서 배우는 것은 답이 아니라 「어? 왜 늘 같지?」 하는 생각입니다.
점 와 세 꼭짓점을 이으면 삼각형이 세 조각으로 나뉩니다(그림의 색칠).
한 변의 길이를 , 세 거리를 라 하면 세 조각의 넓이는 각각 입니다.
세 조각을 더한 것이 전체 넓이 이므로
양변을 로 나누면 입니다. 점 가 어디 있든 와 는 변하지 않으므로, 합도 변하지 않습니다.
여기가 핵심입니다 — 거리를 하나씩 따로 재려 하면 끝이 없습니다. 넓이로 한꺼번에 묶는 것이 열쇠입니다.
정삼각형이 아니어도 될까요? 이등변삼각형에서는 밑변 위의 점에 대해 두 등변까지의 거리의 합이 일정합니다(이 장의 문항이 그것입니다). 정 각형에서는 안의 어느 점에서든 변까지의 거리의 합이 ( 은 내접원 반지름)로 일정합니다.
좌표로 보면 더 또렷합니다. 각 변을 꼴로 두면 점에서 변까지의 거리는 이고, 세 식을 더할 때 일차항이 서로 지워집니다. 「지워진다」가 이 정리의 정체입니다.
아무 삼각형에서나 되는 것은 아닙니다. 세 변의 길이가 다르면 합은 점에 따라 달라집니다. 직접 반례를 만들어 보세요.
이 정리는 볼록성과 선형성의 만남입니다. 각 변을 지지초평면으로 보면 「점에서 변까지의 거리」는 그 변에 대한 선형범함수이고, 정다각형에서는 바깥 법선벡터들의 합이 입니다. 그래서 더하는 순간 점에 대한 의존이 사라집니다.
같은 눈으로 보면 무게중심좌표가 바로 이 정리입니다 — 이고 이므로, 세 거리는 곧 무게중심좌표에 상수를 곱한 것입니다.
확장 : 정사면체 안의 점에서 네 면까지의 거리의 합도 일정합니다. 차원 정단체에서 일반적으로 성립합니다.
풀어 보기
이등변삼각형으로 옮겨 보기. 인 이등변삼각형 의 밑변 위의 점 에서 두 등변에 내린 수선의 발을 라 하고 라 약속하자.
(1) 점 가 밑변 위 어디에 있어도 가 늘 같음을 넓이로 증명하시오.
(2) 그 값을 와 넓이 로 나타내시오.
(3) 점 를 밑변의 연장선 위로 옮기면 (1) 의 값과 같아지는 점이 존재하지 않음을 보이시오.
(4) 일 때 값을 구하고 두 끝점에서도 확인하시오.
(5) 가 가질 수 있는 값의 범위와 최댓값·최솟값을 구하시오.
(3) 이 함정입니다 — 연장선에서는 두 넓이가 더해지지 않고 빠집니다.
문항을 손에 쥐어 보기 — 밑변 위, 그리고 바깥까지
안에서는 더해서 일정, 밖에서는 빼서 일정. 왜 더하기가 빼기로 바뀌었을까요? 그것이 (3) 이 묻는 것입니다.
더 멀리
이 「더하면 지워진다」는 성질은 오늘도 쓰입니다.
- 삼각좌표계 — 합금의 성분비, 흙의 모래·미사·점토 비율처럼 셋을 더해 100%가 되는 것을 정삼각형 한 장에 그립니다. 그 눈금이 곧 이 정리입니다.
- 컴퓨터 그래픽 — 삼각형 안의 색을 매끄럽게 섞는 무게중심 보간이 같은 원리입니다.
- 최적화 — 「제약 안에서 합이 일정한 양」을 다루는 단체법(simplex)의 이름이 바로 이 삼각형(단체)에서 왔습니다.
이어지는 장
정삼각형 안에서 세 변까지의 거리 합이 늘 일정한 것을 보았다면, 이번에는 세 꼭짓점까지의 거리 합이 가장 작아지는 자리를 찾아봅니다 — 제19장에서 같은 삼각형의 또 다른 균형점을 만나보세요.
영감을 받은 곳
비비아니 정리(Viviani's theorem) — 공개된 수학 사실입니다. 설명과 그림을 Wikipedia · Viviani's theorem 에서 확인했습니다.
갈릴레오의 문장은 『시금자』(Il Saggiatore, 1623) 에서 왔습니다 — The Assayer.