조화급수는 무한대로 간다
작아지는 분수들의 무한한 폭주
처럼 분모가 1씩 커지는 분수들을 끝없이 더해 보세요. 뒤로 갈수록 더해지는 수는 0.0001, 0.00001처럼 티끌처럼 작아집니다.
더하는 숫자가 0에 가까워지니 합도 어떤 일정한 한계에 멈출 것 같습니다. 하지만 이 덧셈을 우주 끝까지 계속하면 왜 어떤 거대한 숫자라도 기어이 뛰어넘어 무한대로 터져 나갈까요?
이야기
Nicole Oresme / Aristotle
Public domain · 위키미디어 공용
14세기 파리 대학. 니콜 오렘은 뒷날 리지외의 주교가 되고 왕의 스승이 되는 사람입니다. 그가 이 증명을 적은 것은 1350년 무렵인데, 그 뒤 삼백 년 동안 잊혔습니다. 17세기에 멩골리와 베르누이 형제가 다시 증명하고서야 알려졌습니다.
그런데 이 급수가 커지는 속도는 믿기 어려울 만큼 느립니다. 합이 겨우 10을 넘으려면 만 이천 개쯤 더해야 하고, 100을 넘으려면 우주의 원자 수보다 많은 항이 필요합니다. 그런데도 끝내는 넘습니다.
까닭은 묶어 보면 드러납니다. 1/3과 1/4을 묶으면 둘 다 1/4보다 크거나 같으니 합이 1/2을 넘습니다. 1/5부터 1/8까지 넷을 묶으면 넷 다 1/8 이상이니 또 1/2을 넘습니다.
이렇게 두 배씩 길게 묶어 가면 묶음마다 1/2보다 큽니다. 그런 묶음은 끝없이 만들 수 있기 때문에, 합은 1/2을 무한히 더한 것보다 크고 따라서 어떤 수든 넘어섭니다.
⭐ 책을 책상 끝에 조금씩 어긋나게 쌓으면 이론상 얼마든지 밖으로 내밀 수 있습니다. 내밀 수 있는 길이가 바로 이 급수이기 때문입니다.
그는 수학만 한 사람이 아니었습니다. 화폐를 함부로 찍어 내면 안 된다는 글을 썼고, 아리스토텔레스를 라틴어에서 프랑스어로 옮겼으며, 지구가 도는 것일 수도 있다는 이야기를 코페르니쿠스보다 백오십 년 앞서 적어 두기도 했습니다.
「끝없이 커진다」와 「빨리 커진다」는 다릅니다. 100만 항을 더해도 14.4밖에 안 됩니다.
이 느린 발산이 블록 쌓기(벽돌을 겹쳐 얼마든지 멀리 뻗기)와 컴퓨터 알고리즘의 수행 시간 분석에 그대로 나타납니다.
계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로
종이테이프를 끝없이 이어 붙인다
길이가 1인 종이테이프에 반 토막(1/2), 3분의 1 토막, 4분의 1 토막을 계속 이어 붙여 봅니다. 뒤로 갈수록 붙이는 종이 조각이 눈에 보이지 않을 만큼 얇아집니다.
하지만 아무리 작은 조각이라도 끝없이 붙이다 보면 지구 둘레를 감고도 남을 만큼 테이프가 길어집니다. 작은 힘이 모여 무한이 됩니다.
1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ 을 더해 보세요
블록을 공중에 징검다리처럼 길게 빼서 쌓았는데 허공에 떠서 안 무너진다
묶어서 1/2 씩 넘기는 논증
14세기 프랑스의 오렘은 기가 막힌 묶기 증명을 발견했습니다. 입니다.
그다음 네 개 , 그다음 여덟 개도 보다 큽니다. 즉 분수들을 개씩 묶을 때마다 이상이 끝없이 보태집니다. 을 무한히 더하면 합은 당연히 무한대가 됩니다.
묶어서 보면 커집니다
아무리 작은 먼지 조각도 두 배씩 묶어 모으면 반 조각 상자가 끝없이 계속 만들어진다
적분 비교·오일러 상수
조화급수의 발산은 함수 의 적분 판정법을 통해서도 엄밀하게 증명됩니다. 이며, 일 때 이므로 발산합니다.
오일러는 조화수와 자연로그의 차이가 특정한 상수로 수렴함을 밝혔습니다: . 이 값을 오일러-마스케로니 상수라고 부릅니다.
얼마나 더해야 10 이 될까요
무한히 커지는 두 계단과 곡선 사이의 틈새 찌꺼기를 모으면 0.577 크기로 딱 멈춘다
제타 함수
조화급수는 디리클레 급수 에서 일 때의 경계 상태이며, 리만 제타 함수가 에서 단순 극(Simple Pole)을 가짐을 보여 줍니다.
소수의 역수 합 역시 발산한다는 오일러의 해석적 정수론 정리와 소수 정리의 출발점이 되었으며, 조화 해석학과 정보이론의 엔트로피 척도 계산에 깊숙이 연계되어 있습니다.
오일러 상수 γ
지수 숫자를 1에 1mm만 가까이 대도 얌전하던 숫자가 우주 끝까지 폭발해 버린다
풀어 보기
조화급수의 발산. 급수 에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 오렘의 묶음 증명법을 써서 가 만족하는 부등식을 로 나타내시오.
(2) 이 되도록 하는 자연수 이 존재하는지 판정하고 그 까닭을 쓰시오.
(3) 조화수열과 자연로그의 차이의 극한값인 을 나타내는 상수의 이름을 쓰시오.
(1) 입니다. (2) 조화급수가 무한대로 발산하므로 충분히 큰 에 대해 반드시 존재합니다. (3) 오일러-마스케로니 상수()입니다.
답과 풀이 보기
(1) 입니다.
묶음마다 가장 작은 항으로 통일해서 낮춰 잡아 봅니다.
이렇게 묶음마다 를 넘고, 묶음은 개이므로
확인 : 이면 — 맞습니다.
(2) 존재합니다.
이 되려면 이면 되므로, 이면 입니다.
를 얼마든지 키울 수 있으므로 조화급수는 발산합니다 — 어떤 수든 넘어섭니다.
⛔ 다만 몹시 느립니다. 실제로 100 을 넘으려면 이 필요합니다. 1 초에 1 조 개씩 더해도 우주의 나이로도 모자랍니다.
(3) 오일러–마스케로니 상수 입니다.
— 곧 로 로그처럼 자랍니다.
항이 0 으로 줄어드는데도 합은 무한이 됩니다. 1350 년 무렵 오렘이 이 묶음 증명을 냈는데, 그 뒤 300 년 동안 잊혔습니다.
⭐ 는 · 와 함께 수학에서 가장 자주 나오는 상수인데, 유리수인지 무리수인지조차 아직 아무도 모릅니다.
여기 「풀어 보기」는 기본 한 벌입니다. 더 풀어 보고 싶으면 행복수학의 그 단원으로 건너가세요.
더 멀리
느리게 발산하는 것이 자연에 자주 나타납니다.
- 블록 쌓기 — 벽돌을 겹쳐 쌓으면 이론상 얼마든지 멀리 뻗을 수 있습니다
- 오일러 상수 — 합에서 을 빼면 0.5772… 로 수렴합니다
- 소수의 역수 합 — 소수만 골라 더해도 발산합니다. 훨씬 더 느리게요
이어지는 장
더해지는 조각은 끝없이 0에 가까워지는데 전체 합은 멈추지 않고 무한대로 자라납니다 — 제12장 에서 무한히 쪼개진 시간들이 유한한 합으로 수렴했던 제논의 역설과 극적인 대비를 이룹니다.
이어지는 자료
영감을 받은 곳
14세기 프랑스의 수학자 니콜 오렘(Nicole Oresme)이 1350년경 저술한 『유클리드 기하학 문제집』(Questiones super Geometriam Euclidis)에서 분수들을 묶어 비교하는 방식으로 처음 증명했습니다.