별과 정리 · 제101장 · 1부 · 누구나 손댈 수 있는 것

지도를 접는 방법

Map Folding

몇 가지로 접을 수 있나 — 아직 다 못 셌다

종이 지도를 접는 순서

길쭉한 종이 띠에 1, 2, 3, 4 번호를 적고 지그재그(아코디언 모양)로 접어 보세요.

접힌 종이 묶음의 위에서부터 아래로 번호를 읽으면 1-2-3-4 가 됩니다. 그런데 종이를 꼬아서 1-3-2-4 순서나 다른 순서로 접을 수도 있을까요? 종이가 서로를 뚫지 않고 접을 수 있는 순서는 몇 가지나 될까요?

이야기

종이 띠를 몇 칸으로 나눠 접습니다. 접는 방법이 몇 가지나 될까요?

두 칸이면 한 가지. 세 칸이면 두 가지. 네 칸이면 다섯 가지. 다섯 칸이면 열네 가지.

여기까지는 손으로 셀 수 있습니다. 그런데 여덟 칸이면 1385가지, 열 칸이면 17만 가지가 넘습니다.

더 어려운 것은 지도처럼 가로세로로 접는 경우입니다. 2×2 지도조차 접는 방법이 여덟 가지입니다. 그리고 일반적인 m×n 지도에 대한 공식은 아직 없습니다.

왜 어려울까요? 접었을 때 종이가 서로 뚫고 지나가면 안 되기 때문입니다. 이 조건을 셈으로 다루는 것이 지독히 까다롭습니다.

지도를 접었다 폈다 하는 일상의 동작 뒤에, 아직 아무도 풀지 못한 문제가 숨어 있습니다.

오늘 이것이 하는 일

우주에서 펼치는 물건의 설계입니다. 「미우라 접기」로 접으면 한 번 당겨 통째로 펼쳐집니다.

인공위성 태양전지판이 이 방식으로 접혀 올라가고, 접이식 지도와 포장재에도 쓰입니다.

계단 넷 — 같은 사실을 네 깊이로

초4 · 초5 — 손으로 해 본다

종이띠를 접어 세어 본다

1부터 4까지 적힌 종이 띠를 손으로 이리저리 접어 보세요. 1번 칸이 맨 위로 오고 4번 칸이 맨 아래로 가게 접는 법은 여러 가지가 있습니다.

하지만 아무리 용을 써도 물리적으로 종이가 찢어지지 않고는 절대로 만들 수 없는 불가능한 번호 순서가 있습니다. 손끝으로 종이를 접으며 가능한 순서를 찾아보세요.

지도를 접어 보세요

칸 수를 밀어 보세요.

접는 방법 —칸 수 —주름 수 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

칸 수 n — 5

견줄 자리 nb — 13

5 칸이면 50 가지, 10 칸이면 14,060 가지.
일반 공식이 아직 없습니다 — 컴퓨터로 하나하나 셉니다.

중1 · 중2 — 까닭을 찾는다

수가 폭발하는 것

길이가 인 1차원 종이 띠를 접어서 쌓을 수 있는 순열의 수를 지도 접기 수(Map folding permutations)라고 부릅니다.

일 때 가능한 접기 방법의 수는 1, 2, 6, 16 가지입니다. 일 때 전체 24가지 순열 중 8가지는 종이가 서로를 교차(자기교차)해야만 하므로 불가능합니다.

2 차원 지도는 훨씬 어렵습니다

가로·세로를 밀어 보세요.

접는 방법 —칸 수 —가로 —

가로 — 1

세로 — 3

2×3 은 1,368 가지, 3×3 은 189,383 가지.
4×4 는 아직 세지도 못했습니다.

고1 · 고2 — 넓혀 본다

경우 세기의 어려움

지도 접기 문제는 단순해 보이지만 이 커질 때 일반항을 주는 닫힌 공식(Closed form)이 아직 밝혀지지 않은 미해결 조합론 문제입니다.

2차원 직사각형 지도를 격자 형태로 접는 미우라 접기(Miura fold)는 우주 태양전지판을 접어 로켓에 싣고 우주 공간에서 한 번에 펼치는 최첨단 우주공학 및 오리가미 공학에 응용됩니다.

접을 수 있는지 알아보기

주름을 밀어 보세요.

NP-완전인가 —주름 수 —걸음 수 —

주름 수 — 10

「이 주름 무늬가 평평하게 접히나」는 NP-완전입니다 (버트, 1996).
종이접기가 계산 이론과 만나는 자리입니다.

대학 — 어디까지 가나

미해결 조합 문제

종이 접기 수학은 전산 기하학(Computational origami)과 매듭 이론(Knot theory), 단백질 접힘(Protein folding) 메커니즘과 깊은 수학적 구조를 공유합니다.

평면 패턴이 접힘 가능한지를 판정하는 것은 카와사키 정리(Kawasaki's theorem)와 마에카와 정리(Maekawa's theorem)로 다뤄지며, 일반적인 다각형의 접힘 판정은 NP-완전성 계열에 속합니다.

미우라 접기

칸을 밀어 보세요.

작아지는 배율 —펴는 동작 —칸 수 —

견줄 자리에서는 —몇 배 —

칸 수 n — 8

견줄 자리 nb — 16

한 번에 확 펴지고 한 번에 확 접힙니다 — 자유도가 1 이기 때문입니다.
1995년 일본 위성의 태양전지판이 이 방식으로 펴졌습니다.

풀어 보기

중학교 · 고등학교 수준 · 답은 검산을 마쳤습니다

종이 띠 접기의 조합론. 1, 2, 3, 4 네 칸짜리 종이 띠 접기에 대하여 답하시오.

(1) 3칸짜리 종이 띠(1-2-3)를 접어 위에서 아래로 쌓는 가능한 순서 6가지를 모두 나열하시오.
(2) 4칸짜리 종이 띠에서 순서 (1, 3, 2, 4)로 접는 것이 종이의 연결성 때문에 불가능한 까닭을 간략히 설명하시오.
(3) 인공위성 태양전지판에 쓰이는 미우라 접기가 일반 격자 접기에 비해 펼치고 접을 때 갖는 장점을 한 가지 서술하시오.

(1) 은 (1,2,3), (3,2,1), (2,1,3), (2,3,1), (1,3,2), (3,1,2) 6가지입니다.

답과 풀이 보기

(1) 위에서 아래로 쌓이는 순서 여섯 가지가 모두 됩니다.

⭐ 세 칸일 때는 운 좋게 모든 순서가 다 됩니다. 네 칸부터는 24 가지 가운데 16 가지만 됩니다.

(2) 이음선 둘이 서로를 뚫고 지나가야 하기 때문입니다.
종이는 1–2, 2–3, 3–4 가 붙어 있습니다. 쌓인 순서를 (위에서 아래) 라 하면
· 1 과 2 를 잇는 접힘은 3 을 건너뛰어야 하고
· 3 과 4 를 잇는 접힘은 2 를 건너뛰어야 합니다
이 두 접힘은 서로 엇갈립니다. 종이는 자기 자신을 통과할 수 없으므로 그런 접기는 없습니다.

(3) 한 곳만 당기면 전체가 한꺼번에 펴집니다.
보통 격자 접기는 가로줄과 세로줄을 따로따로 펴야 하지만, 미우라 접기는 주름이 비스듬한 평행사변형이라 모든 주름이 맞물려 움직입니다.
그래서 인공위성에서 모터 하나로 태양전지판을 펼 수 있고, 접었다 폈다 해도 주름 자리가 덜 상합니다.

지도를 접었다 폈다 하면 늘 가운데 십자 부분부터 찢어집니다. 그 자리에 주름이 겹쳐서 지나가기 때문입니다.
미우라 접기에는 그런 자리가 없습니다. 1970 년 미우라 고료가 만들어 1995 년 일본 위성에 실렸습니다.

만지는 수학으로 손에 쥐어 보기

이 장과 이어지는 「만지는 수학」 칼럼입니다. 손끝으로 직접 끌고 눌러 보며 같은 생각을 몸으로 겪을 수 있습니다.

경우의수고1

더 멀리

접기의 수학은 이론과 응용이 함께 자라고 있습니다.

미우라 접기 — 태양전지판을 한 번에 펴는 방법으로 위성에 쓰입니다
포장 설계 — 상자를 어떻게 접을지가 곧 재료비입니다
직접 세기 — 종이띠를 넷으로 나눠 접어 보세요. 다섯 가지가 나옵니다

이어지는 장

종이를 마흔두 번 접어 달에 닿는 기하급수적 두께의 문제에서 한 걸음 나아가, 구겨지지 않고 한 번에 펼쳐지는 우주선용 지도 접기의 신비로 이어집니다 — 제22장 과 단 한 번의 가위질로 모양을 만드는 제61장 을 함께 만나 보세요.

영감을 받은 곳

미우라 코료(Koryo Miura)가 1970년 우주 태양전지판 전개 구조로 고안한 미우라 오리가미(Miura fold)와, 마틴 가드너(Martin Gardner)가 1960년 전후 『Scientific American』 칼럼에서 소개한 지도 접기 순열 연구에서 왔습니다.